Министерство  общего и профессионального  образования РФ

 Светлоградский  педагогический колледж 
 
 
 
 
 

 Дипломная работа 

 Самостоятельная работа как средство обучения решению  уравнений в 5 - 9 классах 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:     

Руководитель:     
 
 
 
 

Светлоград, 2000 г.

 

 Содержание: 

 

Введение

 

      Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится  времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений.

      Проблема  методики формирования умений самостоятельной  работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся. Для этого требуется четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к самостоятельному выполнению работ различного характера. Важным также является раскрытие процесса формирования умений и навыков самостоятельной работы при обучении курсам математики, при этом необходимо показать, как в ходе преподавания математики учитель может осуществить формирование у учащихся отмеченных выше умений и навыков.

      Поэтому я решила работать над данной темой дипломной работы: «Самостоятельная деятельность, как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах.

      Я хочу в своей дипломной работе рассмотреть вопросы связанные  с изучением уравнений в курсе  математики  и как при помощи  схемной работы улучшить качество усвоения материала дипломной темы.

   Поэтому при работе над дипломной работы я перед собой поставила следующие  цели и задачи.

1. Изучить психолого - педагогическую и методическую литературу, Касающуюся  изучению уравнений. Проанализировать школьные учебники и выделить в них место уравнений.
2. Составить конспекты уроков обучения решения различных видов уравнений с использованием самостоятельной работы.
3. Разработать самостоятельных работ для учащихся по различным темам уравнений.

Провести  наблюдения  за использованием  класса в процессе самостоятельной работы.

      Глава I. Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 - 9 классах с использованием работы 

§ Из истории возникновения  уравнений. 

      Алгебра возникла в связи с решением разнообразных  задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. 
 

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне 

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени¹ еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: 

    

      Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает  по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

      Несмотря  на высокий уровень развития алгебры  в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. 
 

Как составлял и решал  Диофант квадратные уравнения 

      В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней  содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

      При составлении уравнений Диофант  для упрощения решения умело  выбирает неизвестные.

      Вот, к примеру, одна из его задач.

      Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

      Диофант рассуждает следующим образом: из условия  задачи вытекает, что искомые числа  не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось  бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е.. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение 

(10+x)(10—x) =96,

или же 

100 —x² = 96. 

x² - 4 = 0

Отсюда х == 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

      Если  мы решим эту задачу, выбирая в  качестве неизвестного одно из искомых  чисел, то мы придем к решению уравнения 

y(20-y)=96 

y² - 20y+96=0

      Ясно, что, выбирая в качестве нtизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения  

Квадратные  уравнения в Индии 

      Задачи  на квадратные уравнения встречаются  уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: 

ax² + bх = с, а> 0.  (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

      В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении  трудных задач. В одной из старинных  индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

      Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

      3 а д а ч а 13. 

 

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

      Соответствующее задаче 13 уравнение 

 

Бхаскара пишет  под видом 

x² - 64x = - 768

и, чтобы дополнить  левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем: 

x² - б4х + 32² = -768 + 1024,

(х - 32)² = 256,

х - 32= ±16,

x₁ = 16,       x₂ = 48.

Квадратные  уравнения у ал-Хорезми 

      В алгебраическом трактате ал-Хорезми  дается классификация линейных и  квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т. е. ах² = bх.
2. «Квадраты равны числу», т. е. ах² = с.
3. «Корни равны числу», т. е. ах = с.
4. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах² + с = bх.
5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах² + bх =с.
6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах².

   Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных  чисел, члены каждого из этих уравнений  слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.