Развитие математических способностей учащихся в основной школе

       Среди широко распространенных логических задач выделим те, которые решаются способом так называемого «здравого рассуждения», способом предположений, составлением различных таблиц, вычерчиванием графов. Один из наиболее элементарных, примитивных случаев состоит в применении способа перебора.

       Рассмотрим  задачи, которые можно считать  логическими, но решение любой из них опирается на «здравый смысл».

       Задача 1. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Как осуществить перевоз, чтобы волк не съел козу, а коза не съела капусту?

       Схема рассуждений и ход решения.

         Рассудительный ученик должен потребовать такое уточнение текста задачи: при крестьянине никто никого не ест! Без этого уточнения решать задачу невозможно.

       Ознакомившись с текстом задачи, учащиеся могут сделать следующие выводы.

1. Крестьянин может сначала перевезти козу, оставив волка и капусту на одном берегу (волк не ест капусту!).
2. Крестьянин после этого может перевезти либо волка, либо капусту, но он должен с противоположного берега козу увезти назад, чтобы волк не съел ее, или она капусту. В этой комбинации перевоза козы назад и заключается необычность идеи, помогающей решить задачу.
3. После этого крестьянин перевозит соответственно капусту или волка.
4. Наконец крестьянин снова перевозит козу.

       При решении данной задачи учащемуся  прежде всего необходим  «жизненный опыт», так как решение задачи не предполагает каких-либо сложных математических выкладок. По-видимому, в данной задаче проявляется навык проведения логических рассуждений и характерных для дедуктивного мышления умений находить логические следствия из данных начальных условий. Конечно, при решении этой задачи и при решении любой другой, необходимы навык полноценной логической аргументации, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

       При формировании аналитико-синтетической  деятельности у учащихся представляют интерес так называемые задачи-головоломки или, как называет их английский профессор Смаллиан, - «дурацкие штучки».

       Приведем  пример такой задачи.

       Задача  2. Имеются две монеты на сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

       Схема рассуждений и ход решения.

         Практика показывает, что эта задача ставит в тупик человека достаточно часто, поскольку увидеть ответ не так уж легко. Это совершенно не страшно, надо просто подробно исследовать ситуацию. Как это делать?

1. На вопрос, какими могут быть две монеты, составляющие сумму 15 копеек, ответ для системы монет нашей страны однозначный: 10 копеек и 5 копеек.
2. Необычность формулировки задачи состоит в том, что указано: из этих двух монет одна не пятак, т. е. десятикопеечная, зато другая — пятак. При решении данной задачи должно проявиться такое качество мышления, как умение абстрагировать.

       Нестандартность мышления проявляется и при решении  таких задач, в которых встречаются слова одного рода, а подразумевается противоположный пол. Например, такая задача.

       Задача 3. Сын отца полковника беседовал с отцом сына полковника. Кто с кем беседовал, если полковника при этом не было?

       Схема рассуждений.

       Стандартное понимание слова «полковник» приводит к стереотипному выводу, что полковник — мужчина, но в задаче «полковник» — женщина, т. е. брат полковника беседовал с мужем полковника.

       Выше  отмечалось, что приведенные задачи требуют для своего решения определенного «здравого смысла», но следует указать и на такие задачи, которые содержат в условиях очень много данных. Удерживать в памяти все факты, приведенные в условиях задачи, трудно, поэтому следует использовать вспомогательные записи или таблицы. Эти записи помогают исключить из рассмотрения нерешаемые варианты (противоречащие условию). Ниже приведены задача, решение которых требует использования вспомогательных таблиц.

       Задача 4. Олег, Игорь и Оля учатся в одном классе. Среди них есть лучший математик, лучший спринтер и лучший художник класса. Известно, что:

1. лучший художник не нарисовал своего портрета, но на 
   рисовал портрет Игоря;
2. Оля никогда не уступала мальчикам в спринте.

       Кто в классе лучший математик, лучший спринтер и  лучший художник?

       В задаче речь идет о двух множествах (множество школьников и множество специальностей). Воспользуемся таблицей 3x3 клетки.

       Из  первого условия задачи следует, что Игорь не художник, ставим в таблице «-», во второй строке и в третьем столбце. Из второго условия следует, что Оля лучший спринтер и поэтому ставим знак «+» в третьей строке и во втором столбце, значит Оля не художник. Игорь не художник, художник — Олег, а лучшим математиком может быть только Игорь. Наглядно показано, что таблица  значительно облегчила решение задачи.

       Иногда  приходится составлять таблицы с  большим числом входов или рассматривать несколько таблиц. В этом случае можно использовать графы. Иногда граф может играть вспомогательную роль в сочетании с другими методами решения.

       Графом  называют схему (сетку, карту), составленную из нескольких точек, называемых вершинами графа, и нескольких отрезков (или дуг), соединяющих эти точки и называемых ребрами графа.

       Применяя  граф к решению логических задач, вершинам и ребрам графа обычно придают определенный смысл. Часто решение задачи получается наглядным и эффективным. Примером решения с использованием графов может служить следующая задача.

       Задача 5. Студенты педагогического университета организовали эстрадный квартет. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Валерием, а студента географического факультета зовут не Леонидом. Михаил учится не на историческом факультете. Андрей не пианист и не биолог. Валерий учится не на физическом факультете, а ударник - не на историческом. Леонид играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий и на каком факультете он учится?

       Схема рассуждений и ход решения.

         В этой задаче имеется три множества (студенты, инструменты, факультеты) по четыре элемента в каждом. Составление таблиц громоздко (придётся чертить три таблицы) и неэффективно. Воспользуемся графами. Обозначим студентов первыми буквами их имен: М, А Л, В; инструменты, на которых они играют: С, П, У, К; факультеты, на которых они учатся: Ф, Г, И, Б. Будем соединять элементы двух множеств сплошной линией, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие, и пунктирной линией, если такое отсутствует.

       Пианист учится на физическом факультете, им может быть Леонид, потому что Андрей не пианист, Михаил играет на саксофоне, а Валерий не учится на физическом факультете. Тогда Андрей — ударник, так как Валерий — не ударник, и Андрей учится на географическом факультете, потому что ударник учится не на историческом и Андрей — не биолог. Михаил - биолог, а Валерий играет на контрабасе и учится на историческом факультете.

       При отборе задач, предназначенных для  той или иной цели,  необходимы требования, которым бы отвечала выбранная система задач. Например, Ю.М. Колягин предъявляет следующие требования к задачам, которые могут быть использованы для развития гибкости мышления:

       а) допускают несколько способов решения;

       б) требуют конструирования нового способа из ранее изученных, применения вспомогательных приемов;

       в) требуют необычного способа решения, при этом полезно 
завуалировать необходимость необычного способа таким содержанием и структурой, которые по виду напоминают обычную стандартную задачу;

       г) решаются известным способом, но необычное содержание задачи маскирует этот способ. 
 
 

       Задачи повышенной трудности.

       В качестве примера таких задач  приведу систему заданий для  учащихся 7-9 классов по углубленному изучению курса математики, разработанную  Салюковой Светланой Васильевной – учителем математики высшей категории средней школы №4 г. Сорочинска [21]. Данная система разработана на основе технологии развивающего обучения и способствует развитию у учащихся математических способностей. Задания вводятся во внеучебное время, учащиеся могут выполнять их либо самостоятельно, либо с помощью учителя, родителей, учеников старших классов. Один раз в неделю учитель проводит консультации по выполнению предложенных заданий.

       Сама  система заданий представлена в  приложении 2. Она включают опорные знания и умения базовой программы. Вместе с тем углубленное обучение с помощью этой системы заданий имеет свои особенности:

• необходимо на основании диагностических исследований производить отбор учащихся: за трехлетний цикл учебы в 7-9 классах данную систему заданий могут усвоить в полном объеме только хорошо подготовленные ученики;
• в системе заданий учтено, что у учащихся 7 класса не сформировано целостное представление о математике как науке;
• задания тесно связаны, переплетены с тем, чем учащиеся занимаются на уроках алгебры и геометрии;
• при выполнении заданий учащимся помогают специальные опорные конспекты по каждой теме, составленные на уроке;
• при организации работы по предложенной системе заданий необходимо проявлять доверие к силам ребенка, диалог учителя и ученика на равных;
• при обучении по предложенной системе заданий вся работа направлена на создание условий для активной, познавательной деятельности, для самостоятельного добывания знаний учащимися, когда требуется самостоятельное осмысливание материала, высказывание собственного мнения об изучаемом, анализ способов познания тех или иных тем.

       Разработанная система заданий по математике позволяет:

       - максимально использовать резервные  возможности в развитии математических  способностей каждого ученика;

       - добиться быстрого и основательного  усвоения углубленных программных  знаний с экономией учебного  времени;

       -   повысить интеллектуальный уровень  учащихся;

       -   сформировать навыки выполнения  умственных операций;

       -   повысить качество подготовки  школьников по математике.

       Выводы.

       Основополагающим  в процессе развития математических способностей является грамотный подбор задач. Видов задач большое количество, каждая задача выполняет свою отдельную  функцию (чаще даже несколько функций). Так занимательные задачи направлены на формирование познавательного интереса к изучению математики, развивают математическую смекалку. Задачи повышенного уровня сложности предназначены для более глубокого, вдумчивого, осмысленного понимания пройденных тем школьного курса математики. В учебных пособиях наблюдается дефицит нестандартных задач, решение которых требует от учеников умственного напряжения, проявления самостоятельности и творчества. Такое многообразие задач требует от учителя так называемой «задачной эрудиции». А ведь не каждый учитель, особенно начинающий, может похвастаться большим «банком задач» или умением их грамотно отбирать. Для решения этих проблем и предназначена база данных, описанию которой посвящена следующая глава.

Глава III.

Разработка  базы данных по развитию математических способностей.

       3.1.  Организация данных  в базе данных.

       Основу  всей базы данных составляют методические разработки по развитию математических способностей. Так как способности  развиваются только в процессе специально организованной деятельности, в нашем случае при решении математических задач, то в основном методические разработки представляют собой различные комплексы задач; хотя возможности базы данных не исключают хранение различных обучающих программ, демонстрационных роликов, конспектов уроков и т.п.(OLE-объектов).

       В основном все данные хранятся в таблице  «Главная». Эта таблица имеет  следующие поля: