Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

       Площадь треугольника можно вычислить, зная длины сторон треугольника a,b,c, по формуле , где . Эта формула называется формулой Герона.

       Также треугольник со сторонами a,b,c  и площадью S имеет следующие свойства:

       а) , где р – полупериметр треугольника;

       б) . 

       2.4 Площадь параллелограмма 

       Теорема 6. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

        ○ Пусть  S – площадь параллелограмма ABCD. Примем сторону АВ за основание параллелограмма и проведем высоту DH. Докажем, что (рис. 9) 
 
 
 

       Диагональ BD разлагает параллелограмм на два равных треугольника ABD и CDB. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. По условиям А₁ и А₂ измерения площадей (п.1 §1) имеем: . Отсюда, используя теорему 4, получаем: .●

       Докажем еще одну теорему о площади параллелограмма, которой часто пользуются при решении задач.

       Теорема 7. Площадь параллелограмма равна: а) произведению смежных сторон на синус угла между ними; б) половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

       ○ Пусть S – площадь параллелограмма ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке О.

       а) Треугольники ABD и CBD имеют равные основания AB и CD, и равные высоты, поэтому их площади равны (рис. 9). Следовательно, . По теореме 5 площадь треугольника ABD равна , следовательно, .

       б) Треугольники AOB, AOD, BOC и COD имеют равные площади, так как любые два из этих треугольников, которые имеют общую сторону, имеют равные основания и общую высоту, следовательно, . По теореме 5 , поэтому .● 

       2.5 Площадь трапеции 

       Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

       Теорема 8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

       ○ Пусть S – площадь трапеции ABCD с основаниями AD и DC и высотой ВН. (рис. 10). Докажем, что . Диагональ BD разлагает трапецию на два треугольника и . Примем отрезки АD и ВС за основания этих треугольников, тогда ВН и DH₁ – их высоты. Так как отрезки ВН и DH₁ являются высотами трапеции ABCD, то BH = DH₁.

       Из  условия А₂ измерения площадей и теоремы 4 получаем:

        .●

       2.6 Площадь произвольного многоугольника 

       Для вычисления площади произвольного  многоугольника обычно разлагают данный многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Используем этот метод для решения задачи (см. Приложение 1)

       Для вычисления площади произвольного  многоугольника можно применять также другой метод, основанный на понятии равносоставленности двух многоугольников. Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников. Очевидно, два равносоставленных многоугольника равновелики, т.е. имеют равные площади. На этом свойстве основан следующий метод вычисления площади многоугольника: данный многоугольник разлагают на конечное множество многоугольников таких, чтобы из них можно было «сложить» многоугольник ', площадь которого известна. Именно таким способом в школьном курсе геометрии находят формулу вычисления площади параллелограмма. [2] 
 
 

       Глава II «Изучение геометрии в 7-9 классах» 

       §1 Психологические особенности подросткового возраста. 

       Подростковый  возраст — трудный период полового созревания и психологического взросления ребенка.

       В самосознании подростка происходят значительные изменения: появляется чувство взрослости — ощущение себя взрослым человеком; возникает страстное желание если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым.

       Отстаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идет на конфликты с ними. Кроме стремления к независимости, подростку присуща сильная потребность в общении со сверстниками. Появляются подростковая дружба и объединение в неформальные группы. Подростки стремятся во всем походить на сверстников и пытаются выделиться в группе, хотят заслужить уважение и бравируют недостатками, требуют верности и меняют друзей.

       Возникают яркие, но обычно сменяющие друг друга увлечения. Благодаря интенсивному интеллектуальному развитию появляется склонность к самоанализу; впервые становится возможным самовоспитание. У подростка складываются разнообразные образы своего «Я», однако изменчивые и подверженные внешним влияниям. [10]

       Подростковый  возраст традиционно считается  самым трудным в воспитательном отношении. Известный отечественный педагог А.П. Краковский, сравнивая особенности поведения младших школьников и младших подростков, у которых разница в возрасте составляет всего один год, констатирует следующее: «Подростки в сравнении со своими младшими товарищами в 6 раз чаще проявляют упрямство, в 9 раз чаще бравируют своими недостатками, в 10 раз чаще противопоставляют себя родителям. В целом количество немотивированных отрицательных поступков подростков отмечается в 42 раза(!) больше, чем у младших школьников». [11]

       Наибольшее  количество детей с так называемой школьной дезадаптацией, т. е. не умеющих приспособиться к школе (что может проявляться в низкой успеваемости, плохой дисциплине, расстройстве взаимоотношений со взрослыми и сверстниками, появлении негативных черт в личности и поведении и т. п.), приходится на средние классы.

       Так, по данным исследователей, если в младших  классах школьная дезадаптация встречается в 5—8% случаев, то у подростков—в 18— 20%. В старших классах ситуация вновь несколько стабилизируется, хотя бы уже потому, что многие «трудные» дети покидают школу.

       Возникают трудности во взаимоотношениях между  мальчиками и девочками в школе в период полового созревания и зрелости. В одном классе учатся мальчики и девочки одного возраста, но между 11 и 15 годами девочка практически на 2 года старше мальчика того же возраста. Она опережает мальчика по развитию, она выше ростом, у нее более «взрослые» интересы. Ей хочется принимать ухаживания, а он еще маленький дикарь, который считает постыдным обращать внимание на девчонок. [12]

       Границы подросткового периода значительно варьируются. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие — позже, подростковый кризис может возникнуть и в 11, и в 13 лет. Начинаясь с кризиса, весь период обычно протекает трудно и для ребенка, и для близких ему взрослых. Поэтому подростковый возраст иногда называют затянувшимся кризисом.

       Учитывая  все вышеизложенные особенности, проанализируем изучение темы «Многоугольники. Площади  многоугольников» в учебниках геометрии под редакцией авторов Атанасяна и Погорелова с целью выявления наиболее оптимальной методики формирования знаний, умений и навыков по данной теме, необходимых для успешного обучения в ВУЗах. 
 
 
 
 

       §2 Сравнительный анализ учебных пособий 

       Итак, совершенно ясно, что данные учебные пособия имеют значительные различия. В учебном пособии под редакцией А.В. Погорелова на изучение в 8 классе темы «Четырехугольники» отводится 20 часов, и понятие многоугольника не рассматривается. В учебном же пособии Л.С. Атанасяна на изучение в 8 классе этой темы отводится всего 14 часов, причем понятие многоугольников изучается в этом параграфе.

       Изучение  темы «Площади многоугольников» данные учебные пособия изучают в разное время: в учебном пособии Л.С. Атанасяна данная тема изучается в 8 классе, и на нее отводится 14 часов, а в учебном пособии А.В. Погорелова тема изучается в 9 классе, и на нее отводится 12 часов. Так же в этом параграфе дети знакомятся с понятием многоугольника.

      Практические  задания темы  «Площади многоугольников», предлагаемые в учебном пособии Л.С. Атанасяна, в отличие от учебного пособия под редакцией А.В. Погорелова, дифференцированы, т.е. в конце каждого пункта следует перечень практических задач по изученному материалу. В конце главы  «Площади многоугольников» имеется список заданий, предлагаемых с целью обобщения темы. Он включает задания повышенной сложности, а также интересные задания для детей, интересующихся математикой. В учебном же пособии под редакцией А.В. Погорелова сначала изучается весь теоретический материал по теме «Площади многоугольников», и только в конце главы представлен список практических заданий по изученной теме.

      Еще одним различием учебных пособий  является наличие заданий, проверяющих не только знание формул, но также знание основных определений и свойств по теме «Площади многоугольников». В учебнике, предложенном А.В. Погореловым, количество таких заданий не превышает и четверти от общего объема практического материала. В основном, все задачи направлены на проверку знания учениками формул вычисления площадей фигур. Задания повышенной сложности также представлены в небольшом количестве. Одним словом, учебное пособие под редакцией А.В. Погорелова рассчитано на «среднего» ученика и мало ориентировано на учащихся, уровень знаний которых выше среднего. В учебном пособии, предлагаемом Л.С. Атанасяном, такого рода заданиям уделяется большее количество внимания. Это способствует развитию у детей логического мышления, смекалки и интереса к предмету.

      Что касается оформления, то учебник под  редакцией Л.С. Атанасяна отличается достаточной красочностью и количеством наглядностей. Однако, сравнивая с учебником А.В. Погорелова, наглядности в учебном пособии Л.С. Атанасяна меньшего масштаба, что порой доставляет неудобства.