Матрицы и определители

     Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число

      

     D(А) =  

     Правило Саррюса (треугольника) 

             

     Пример. Вычислить определить  

     D(А) =  

     Минором элемента a_ik называется определитель М_ik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца.

     Алгебраическим  дополнением элемента a_ik называется число . 

     Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические допоплнения: 

     D(А) =  

     Данную  формулу называют разложением определителя по первой строке.  

     Пример. Вычислить определитель матрицы 

      . 

     Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы: 

       

     Вычисляем искомый определитель:  

     D(А) = 3^.7 + (-2)^.(-35) + 4^.(-7) = 63.  

     Далее индуктивно вводится понятие определителей  более высоких порядков. 

     Определителем n-го порядка называется число 

      . 
 
 
 
 
 

     §2. Свойства определителей. 

     Изложенные  ниже свойства справедливы для любого n-го порядка. Доказательства будем проводить для n =  3.

     1. Определитель не меняется при  транспонировании, т.е. D(А^Т) = D (А). Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк.

     2. Если две строки определителя  поменять местами, то определитель  меняет знак.

     3. Если все элементы какой-либо  строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

     4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

     5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или  пропорциональны, то определитель  равен нулю.

     6.

       

     7. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

     8. Сумма произведений элементов  любой строки (столбца) на свои  алгебраические дополнения равна  самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой сроки (столбца) равно 0.

     Свойства 1), 2), 8) доказываются непосредственно  полным раскрытием определителя. Докажем 3).

     Если  раны нулю все элементы 1-ой сроки, то по определению 

D = 0^.А₁₁ + 0^.А₁₂ + 0^.А₁₃ = 0.

     Если  нулю равны все элементы другой сроки, то поменяв ее местами с первой (что может повлиять лишь на знак определителя), мы сведем дело к предыдущему. Свойства 4), 6) читатель докажет самостоятельно, используя понятия определителя.

     Доказательство 5). Если поменять местами одинаковые строки, то, с одной стороны, определитель не измениться, а с другой – на основании св. 2, он поменяет знак, т.е.

     D = -D Þ 2D = 0 Þ D = 0.

     Доказательство 7) следует теперь из 6) и 5).

     9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали  

      . 

     Доказательство. Раскладывая D по элементам 1-го столбца, получаем произведение ведущего элемента а₁₁ на определитель такого же вида (n-1)-го порядка с ведущим элементом а₂₂ . Раскладывая этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем произведение а₂₂ на определитель такого же вида (n-2)-го порядка. Это значит, что D равен произведению а₁₁^.а₂₂ на этот новый определитель. Продолжая этот процесс необходимое число раз, приходим к равенству D = а₁₁^.а₂₂^.а₃₃^.… а_nn . 

     Сформулируем  без доказательств еще один важный факт. 

     ТЕОРЕМА 1.1. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то 

     D(А^.В) = D(А) ^.D(В). 

     СЛЕДСТВИЕ.D(А^.В) =D(В^.А). 

     Глава 3. Обратная матрица. 

     Существование и структура обратной матрицы. 
 

     Матрица А^-1 называется обратной к квадратной матрице А, если  

     А^.А^-1 = А^-1.А = Е. 

     ТЕОРЕМА 1.2. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невыраженной, т.е. чтобы D(А) ¹ 0.  

     ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: D(А) ¹ 0. Докажем, что обратной к матрице А является матрица 

      . 
 
 
 
 
 

     В самом деле,

     Каждый  из элементов главной диагонали  равен определителю D(А), ибо представляет собой сумму произведений элементов одной из строк матрицы на свои алгебраические дополнения. Все остальные числа в результирующей матрице равны нулю на основании второй части свойства 8).

     Поэтому, 

       

     Совершенно  аналогично доказывается, что А^.А^-1 = Е.

     Это завершает доказательство достаточности. 

     НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано, что матрица А^-1 существует. Надо доказать, что

D(А) ¹ 0. Допуска, что D(А) = 0, мы бы получили из равенства А^.А^-1 = Е,

D(А) ^.D(А^-1) =DЕ, откуда D(А) ^.D(А^-1) = 1, что невозможно, ибо левая часть этого равенства есть 0.  

      ПРИМЕР. Найти обратную к матрице

  

. 

      РЕШЕНИЕ. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы: 

       

Находим определитель матрицы А: 

     DА = 2^.7 +(-1) ^. (-10)+(-2) ^.11 = 2  

Теперь записываем обратную матрицу 

     

.

     ПРОВЕРКА.  

= 

 

    Значит, матрица А^-1 найдена верно.

 

      Файл материалов 

     Примеры решения задач. 

     Действия  над матрицами (линейные операции над матрицами,

     транспонирование  матрицы, умножение  матриц). 

     Данной  теме посвящены §2,3 главы 1, где изложен  теоретический материал и разработаны  примеры.

     Пример 1. Найти сумму двух матриц А и В, где 

      . 

     Операция  сложения двух матриц определена, только если обе матрицы – слагаемые имеют одинаковый порядок. В данном случае матрицы А и В одинакового порядка. Порядок матрицы – это пара чисел, первое из которых m равно числу строк матрицы, а второе n – числу ее столбцов. Матрицы А и В имеют порядок 2^.4(m=2, n=4).

     Матрицы А и В можно сложить. Суммой А+В будет матрица того же порядка, что слагаемые, обозначим ее С.

     Элементы  с_ij(i = 1,2; j = 1,2,3,4) получаются как суммы элементов матрицы А и В с одинаковыми индексами с_ij = а_ij + b_ij , i = 1,2; j = 1,2,3,4.

     Итак, имеем  . 

     Пример 2. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = 2А + В. 
 

      . 

     Заметим, что наши матрицы – квадратные (число строк равно числу столбцов, это общее число 3 и есть порядок  наших матриц). Матрицы А и В – треугольные, у матрицы А под главной диагональю все элементы нулевые. Это свойство матриц исчезнет при их сложении. Чтобы получить матрицу 2А, следует все элементы А умножить на 2.  

      . 
 

     Пример 3. Найти произведение матриц АВ = С, где 

      .

     Для умножения двух матриц их порядки  должны быть «согласованы», а именно, число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу строк  второго множителя В. В нашем  случае обе матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок 2. Значит, умножение АВ определено.

     Произведение  С=АВ будет квадратной матрицей того же порядка. Обозначим ее элементы с_ik, i = 1,2; k = 1,2.

     Чтобы получить с₁₁ следует в матрице А выделить первую строку, а в матрице В выделить первый столбец и вычислить их скалярное произведение с₁₁ = 2^.0+0^.0=0. Теперь вычислим с₁₂ , для этого выделим в А снова первую строку, а в В – второй столбец, перемножим их соответствующие элементы и сложим.

     

     

     

      Далее, , элемент с₂₂ получается при умножении второй строки А и второго столбца В. 

     с₂₂ = 2^.2+(-1)^.(-1) = 5. 

     Запишем теперь матрицу  . 
 

     Пример 4. Пусть А и В – матрицы из примера 6. Вычислить произведение ВА=Д, проверить, будут ли матрицы А и В перестановочны. 
 

      . 

     Выпишем формулы для вычисления элементов  i = 1,2; j = 1,2 матрицы Д: 

     d₁₁ = a₁₁b₁₁ + b₁₂a₂₁,    d₁₂ = b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂,

     d₂₁ = b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁,    d₂₂ = b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂. 

     Подставим в эти формулы числовые значения

     d₁₁ = 4, d₁₂ = -2, d₂₂ = 1, и матрица D=ВА имеет вид