Лекции по "Алгебре"

а_л... а

/а_п ... Я]

 

  Таким образом, не только доказана обратимость матрицы Л, но и дано явное выражение ей обратной матрицы Л^-1 (единственной!)

 

  Если  рассматриваемое кольцо является полем, то так как в поле все ненулевые элементы делят единицу, условия теоремы 3, 3 можно упростить.

  Именно, для обратимости матрицы Л  необходимо и достаточно, чтобы она была квадратной и чтобы ее опреде- 

литель  был отличен от нуля11. Как это указывалось в параграфе 2, если А, В обратимы, то

(Л-¹)-¹ = Л, (Л5)-¹ = Д-М-¹.

  Теперь  будет введена еще одна вспомогательная  операция над матрицами — их транспонирование.

  Пусть А — матрица; матрица полученная из А перестановкой всех строк (в их порядке) на место столбцов, называется транспонированной и будет обозначаться А¹.

  Легко проверяется (проверить!), что

(Л!)! = Л, (А +В)¹=А¹ +В¹, [AB)¹ — 5'Л¹.

  Используя понятие транспонирования, как и  в теории определителей, можно использовать „равноправность" строк и столбцов для сокращения некоторых доказательств. Например, пусть доказано первое утверждение теоремы 3, 1; пусть теперь г < k. Но тогда матрица Л¹ удовлетворяет условиям первой части теоремы и, следовательно, по доказанному, существует ненулевой столбец В такой, что А¹В=0; но тогда, транспонируя, В^ХА— 0 и 5¹ = 0; это доказывает второе утверждение теоремы 3, 1.

IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  В этом параграфе будут рассмотрены  системы линейных уравнений

^aiA-b • ■ + ^a\n^xti —

^ak\^x\ + • . • + a_knx_n = b_k.

  Для полного исследования этих уравнений будут сделаны следующие ограничительные предположения. Пусть Н — аддитивная коммутативная группа с коммутативным кольцом линейных операторов R, отображающих Н в И.

  Дальнейшая  теория, во всяком случае, верна в  следующих трех основных случаях: R — коммутативное поле; R — кольцо целых чисел; R -- кольцо полиномов одного аргумента X с коэффициентами из некоторого коммутативною поля.

  Общие для этих трех случаев свойства, которые используются в дальнейшем доказательстве, следующие:

  1. В R введена некоторая упорядоченность элементов, которая будет выражаться словами „элемент aeR меньше beR'¹-, при ней нулевой элемент меньше всякого другого, делимое, отличное от нуля, не меньше делителя и всякая последовательность уменьшающихся элементов конечна"^-.

2. В R возможно неполное деление: для всякого элемента aeR и всякого ненулевого элемента beR можно указать такие элементы peR („неполное частное") и reR („остаток"), что a— pb-{-r, причем остаток г меньше делителя Ь12.
3. Кольцо R содержит единицу'""'.

  Коммутативные кольца, для которых выполняются  эти требования, принято называть эвклидовыми (так как в этих кольцах  проводится алгорифм Эвклида нахождения общего наибольшего делителя).

  Сделаем еще несколько замечаний относительно свойств эвклидовых колец, которые хорошо известны для кольца целых чисел и кольца полиномов одного аргумента (для случая поля эти свойства будут пояснены).

  Два ненулевые элемента из R, которые делят друг друга (такие элементы будут называться эквивалентными), отличаются друг от друга множителями, являющимися делителями единицы: если а\Ь и Ь\а (а ф О, ЬФ 0), то a=pb, b~qa, где р и q — делители единицы; таким образом, в R существуют р~¹ и q~^l; обратное заключение также справедливо.

  В кольце целых чисел два делителя единицы: 1 и — 1. В кольце полиномов делителями единицы являются все ненулевые постоянные полиномы. В поле делителями единицы являются все элементы, кроме нуля.

  Каждый  ненулевой элемент а из R может быть представлен в виде а — гр₁...р_п, где s — делитель единицы, р_и .. ., р_п — простые элементы R (в случае, если R есть поле, а = г), при этом простые множители р₁,...,р_п определяются элементом а однозначно, с точностью до порядка следования и эквивалентности (иначе говоря, в дв}-х разложениях элемента количество простых множителей одинаково и они попарно эквивалентны в некоторой последовательности).

  Для всякого конечного множества  элементов из R — a_lt . . .,а„, — однозначно, с точностью до эквивалентности, определяется их общий наибольший делитель d\ при этом в R можно подобрать такие элементы р_г . . ,р_п, что d = = Pi^ai Н^- • • • + Рп^ап (проверить это свойство для случая, когда R есть поле). Из определения линейных операторов, в том числе единичного, нулевого, их суммы и произведений, следует, что для любых a, $eR и abeH,

a(a±b) = aa±ab, (а + |3)а = аа ± [За, (ар)а = «(ра), 1 а = а, 0а = 0, «0 = 0.

  При рассмотрении системы (4,1) будем предполагать, что Ь_ъ . . ,,b_keH, а_и, . . ., a_kneR\ решения будут разыскиваться также среди элементов И.

  Примеры. 1. Пусть а_у, b_l(i = 1 k;J=l,..., ri)

суть  целые числа (R — кольцо целых чисел, Н— аддитивная группа целых чисел); определяются целочисленные решения системы (4, 1).

2. Общее:/? — эвклидово кольцо, И — аддитивная группа этого кольца; решения определяются в этом кольце. Например, R — некоторое поле; в этом случае теория системы (4, 1) охватывается известной теоремой о совместности (теорема Кронекера-Капелли).
3. Н — аддитивная группа неограниченно дифференцируемых в некотором интервале действительных функций одного аргумента t\ R — кольцо линейных дифференциальных операторов с действительными коэффициентами (проверить выполнение всех требований; почему функции предполагаются неограниченно дифференцируемыми?)13. Развиваемая далее теория применима, таким образом, к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида с постоянными коэффициентами.

  Основной  вопрос, рассматриваемый в этом параграфе, — приведение системы уравнений (4, 1) путем преобразования уравнений  и неизвестных к простейшему  виду; соответственно упрощению будет подвергаться матрица системы (4, 1)

I а_и ... a_in\

\^aki ■ ■ ■ ^aknl •

  Одним из основных преобразований системы (4, 1) является (при k > 1) замена одного из уравнений системы суммой этого уравнения и произведения какого-либо оператора из R и какого-либо другого из этих уравнений (подобным преобразованием достигается исключение неизвестных). Например, прибавляя к первому уравнению произведение второго на р, получаем следующую систему:

(Дц + P<h\)X\ + • ■ • + [а_1п + ра_ъп)х_п = b₁ + pb₂,

^а21-*^г1+ • • • + ^а2п^хП —

0*1*1+ • • • + a_knx_n=b_k.

  Очевидно, каждое решение системы (4,1) является решением также и полученной системы. Обратно, вычитая из первого уравнения полученной системы произведение р на второе уравнение (или, что равносильно, прибавляя произведение-?? и второго уравнения), можно восстановить первоначальную систему. Итак, каждое решение полученной системы является также решением первоначальной.

  Таким образом, рассматриваемое преобразование обратимо, и это обстоятельство обеспечивает неизменность решений в результате такого преобразования.

  . Проведенное преобразование первого  уравнения системы (4, 1) на матрице А системы сказывается следующим образом: первая строка матрицы заменяется суммой элементов первой строки и произведения Р и соответствующих элементов второй строки.

  Для получения простейшей формы системы  приходится заменять также и неизвестные; основным преобразованием такого вида (при га> 1) является замена одного из неизвестных суммой нового неизвестного и произведения какого-либо оператора peR на другое из неизвестных. Например, замена х₂—у₂+рх₁.

  Система (4, 1) тогда принимает следующую  форму:

{а_и + ра₁₂)х_х + д₁₂у₂ + • • • + а_1пх_п = Ь_и

(^aki+P^akJ^xi + V2 + • • • + V. = ^bk

  Легко видеть, что и это преобразование обратимо (заме- на у₂ = х₂ — рх_г). Это позволяет, по формуле х₂=у₂-\-рх_х, легко подсчитать решение одной системы по известному решению другой системы. Матрица системы А при этом преобразуется так: к элементам первого столбца прибавляются произведения р на соответствующие элементы второго столбца.

  Очевидно, проще проводить такие преобразования непосредственно на матрице; предыдущие два основных преобразования, кроме того, следует пополнить. Будут рассматриваться следующие преобразования^ называемые элементарными преобразованиями матрицы (или соответствующей системы линейных уравнений).

  1 (2). Прибавление к какой-либо строке (столбцу) матрицы произведения произвольного элемента из R на какую- либо другую строку (столбец).

  3 (4). Умножение какой-либо строки (столбца)  матрицы на делителя единицы.

  5 (6). Перестановка двух строк (столбцов) матрицы14.

  Все эти преобразования обратимы (проверить, почему в преобразованиях 3, 4 допускается  умножение только на делитель единицы?).

  Будем называть некоторую матрицу В эквивалентной матрице А, если матрицу В можно получить посредством конечного количества элементарных преобразований из матрицы А (по схеме А Л₂ -> . . . -> A_s~ -> В. Каждая следующая матрица получается из предыдущей посредством одного из шести элементарных преобразований).

  Благодаря обратимости элементарных преобразований, если матрица В эквивалентна А, то А эквивалентна В\ далее, легко видеть, что две матрицы, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой (доказать!); наконец, ненулевря матрица эквивалентна самой себе (доказать!). Очевидно, эквивалентные матрицы имеют одинаковый размер.

  Основной  в рассматриваемом вопросе является следующая теорема, называемая часто теоремой об элементарных делителях15.

  Теорема 4, 1. Посредством конечного количества последовательных элементарных преобразований всякую матрицу, с элементами из эвклидова кольца, можно привести к („каноническому") виду

 

Здесь т_и .. ., т_г отличны от нуля, прочие элементы матрицы равны нулю; в случае г = О, все элементы матрицы —

нули; при  r> 1, m^m^i <, _ \ ,._!)»**

  Если  обозначить через у_г,..., у_п неизвестные, возникающие после всех проделанных элементарных преобразований системы (4, 1), через с_х c_k — свободные члены полученной системы, то систему (4, 1) можно, таким образом, привести к виду

т_г У! = с_ъ т-гУг = с_г,

^0=см ь (4,31

О = с- .

  Доказательство. Если все элементы матрицы Л равны нулю, то справедливость теоремы очевидна.