место принцип  сходимости Больцано–Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое, что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают разнятся меньше чем на . Если при этом в состав точек деления включить точку с, а точки деления, приходящиеся на промежуток [с, b], брать в обоих случаях одними и теми же, то разность( ) сведется к разности() двух сумм Стилтьеса , относящихся уже к промежутку [а, с], ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку [a, с] и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла.   Аналогично устанавливается   и   существование интеграла

Надо отметить что из существования обоих интегралов , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

  Теорема(Больцано–Коши). Для того чтобы функция f(x) при стремлении x к а имела конечный предел ,т.е. сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовало такое число >0 , чтобы неравенство \f(x)-f(x')\выполнялось, лишь только

 
 
5. Интегрирование по  частям.

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула 

в предположении, что существует один из этих интегралов. Формула эта носит название формулы  интегрирования по частям.

  Доказательство:

Пусть существует интеграл . Разложим промежуток [a,b] на части (i=0, 1, …, n-1), выберем в этих частях произвольно , так что 
 

Сумму Стилтьеса  для интеграла  

можно представить  в виде 

Если прибавить  и отнять справа выражение 

то  перепишется так: 
 

    Выражение  в фигурных скобках представляет  собою стилтьесову сумму для  интеграла  (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка [a,b] точками деления 

если в  качестве выбранных из промежутков  (i= 1, …, n-1) точек взять , а для промежутков [a, ] и [, b], соответственно, a и b. Если положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2. При сумма в квадратных скобках стремится к следовательно, существует предел , т.е. интеграл и этот интеграл определяется формулой (9).

    Если  функция g(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции f(x), то и функция f(x) интегрируема по функции g(x).

 
 
6. Приведение интеграла  Стилтьеса к интегралу  Римана.

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b], а g(x) монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки =g(x) непосредственно приводится к интегралу Римана.

    На  рисунке изображен график функции  =g(x). Для тех значений x=x’, при которых функция g(x) испытывает скачок, дополним график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (x’,g(x’-0) ) и (x’,g(x’+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению v между и V=g(b) относит одно определенное значение x между a и b. Эта функция будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

    Именно, если ограничиться лишь теми  значениями  , которые функция действительно принимает при изменении от a до b, то является обратной для нее в обычном смысле, т.е. относит именно те значения , при которых . Но из промежутка значений [g(x’-0), g(x’+0)], связанного со скачком функции , лишь одно значение имеет себе соответствующим значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения не отвечают. Условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

    Теперь  докажем: 

где последний  интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так  как функция , а с нею и сложная функция , непрерывна.

    С  этой целью разложим промежуток [a,b] на части с помощью точек деления 

и составим стилтьесову  сумму 

Если предположить (i=0, 1, …, n), то будем иметь 

Так как  , то 

Это выражение  имеет вид римановой суммы  для интеграла 

    Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится. Тогда имеем 

и 

так что 

    Предположим  теперь  настолько малым,  чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как при очевидно,

То одновременно и  В таком случае 

    Этим  доказано, что 

откуда и  следует (10).

 
 
7. Вычисление интегралов  Стилтьеса.

 Если функция  интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом 

где функция абсолютн интегрируема в , то 

Интеграл  справа существует. Существование Стилтьеса  было уже доказано в п.3 (III). Остается лишь  установить равенство (11).

    Предположим,  что - положительная функция (для упрощения).

Составим  сумму Стилтьеса 

Так как, с  другой стороны, можно написать 

то будем  иметь 
 

Очевидно, для  будет где - это колебание функции в промежутке . Отсюда выкает оценка написанной выше разности: 
 

   Т.к.  в п.3 (III) мы доказали, что при стремится к 0, следовательно

    Если с интегралом сходится и интеграл , то интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию fix) - абсолютно интегрируемой в промежутке      [а, + ]

 

что и доказывает формулу (11).

 При прежних  предложениях относительно функции  допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

 

    Интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменить его выражением .

    Если  функция  оказывается разрывной, то начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции , определяемой равенствами

 

    Она имеет разрыв первого рода -  скачок -  в точке x=0 справа, причем величина скачка равна 1; в точке x=0 слева и в остальных точках функции непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке x=c справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке x=c слева, причем величина скачка будет равна -1.

    Предположим,  что функция  непрерывна в точке x=c, и вычислим интеграл

 

где при (c=b этот интеграл равен нулю).

    Составим  сумму Стилтьеса:

 

Пусть точка  c попадет в k-й промежуток, так что Тогда , а при . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: . Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

 

    Аналогично  можно убедиться в том, что  (при )

 

(при c=a этот интеграл обращается в нуль).

 Пусть  функция  в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

 

Терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

 
 

    Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках a или b – односторонние (если на деле какой-либо из этих точек скачка нет, то соответствующее слагаемое суммы обращается в нуль).

    Для  упрощения записи введем обозначения  для скачков функции  справа и слева:

 
 

очевидно, для 

    Составим  вспомогательную функцию:

 

которая как  бы вбирает в себя все разрывы  функции , так что разность оказывается непрерывной (по доказанному ранее).

    Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, т.к. для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения При оно имеет значение ; но таков же и предел при

 

Аналогично  проверяется и непрерывность функции в точке слева.

    Далее,  если взять точку  (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

    Для  непрерывности функции по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

 

Точно так  же легко вычислить и интеграл (с учетом (13), (14))

 
 
 
 

            Складывая почленно эти два равенства, придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции

  устанавливается попутно свойство в п.4.

 
 
  Геометрическая иллюстрация  интеграла Стилтьеса.

    Рассмотрим  интеграл

 

предполагая функцию  непрерывной и положительной а -монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

    Система  параметрических уравнений 

выражает  некоторую кривую (K) , разрывную, как на рисунке.

Если при некотором  функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно и то же предельное значение , равное ). Дополним кривую (K) всем горизонтальным отрезками, соединяющими пары точек

 

отвечающие  всем скачкам функции  (по рисунку). Таким образом, составится уже непрерывная кривая (L). Покажем, что интеграл (16) представляет площадь фигуры под этой кривой, т.е. площадь фигуры, ограниченной кривой (L), осью x и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

    С  этой целью разложим промежуток  на части точками

 

и  в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками

 

     Введя наименьшее и наибольшее значения функции в i-ом промежутке , составим нижнюю и верхнюю суммы                Стилтьеса – Дарбу

 

Они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

    Так  как при стремлении в 0 всех  обе суммы стремятся к общему пределу (16), то отсюда следует, что фигура, изображенная на рисунке квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (16).

 
 
Теорема о среднем, оценки.

 Пусть  в промежутке  функция ограничена: , а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула

 

То есть это  теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

    Доказательство:

 

Переходя  к пределу, получим