Действия с приближенными величинами

 

х 1,5761462. 

Метод простой итерации. Уравнение f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5 можно записать в виде

 х  = .

За основной интервал возьмем (1,5; 1,7), положим φ (х) = .

1) φ  (х)  [1,5; 1,7] при х [1,5; 1,7]

2) φ` (х) = .

В качестве начального приближения положим  х⁽⁰⁾ = (1,5+1,7) / 2 = 1,6

Вычисляем последовательные приближения х^(k) с одним запасным знаком.

  

 

х 1,57646 

2. Вычислить  приближенное значение интеграла 

По формуле: а) трапеции (n=10); б) Симпсона (n=10); в) Гаусса (n=5);

а) трапеции (n=10)

 

= 1 = 10,92 + 74,58 = 85,5

б) Симпсона (n=10) 
 

  Вычислить интеграл  . 

  Решение:

  Имеем . Отсюда h = =1. Результаты вычислений приведены в таблице. 

  Таблица 4.

  Вычисление  интеграла по формуле Симпсона 

 

  По  формуле Симпсона получим:

  

  
 

  

 
 

в) Гаусса (n=5); I =

При вычислении интеграла  следует сделать замену переменной . тогда формула Гаусса будет иметь вид где .

Решение.

Сделаем замену переменной х = 2 + 5t , dx= 5dt. получим интеграл I = 5

Составляем  таблицу значений подынтегральной  функции  

Затем по формуле Гаусса при n=5 находим 

I | A₁f(t₁) + A₂f(t₂) + A₃f(t₃) + A₄f(t₄) + A₅f(t₅) | =  

3. Построить  интерполяционные многочлены Лагранжа  и Ньютона по табличным данным.

Интерполяционный  многочлен Лагранжа

L₄ (x) = + + + =

= -0,12х³ +2,41х² – 15,3х + 30,71 + 0,38х³ – 6,78х² + 39,43х – 63,33 - 0,32х³ + 5,32х² – 25,66х + 36,99 + 0,05х³ – 0,72х² + 2,8х – 3,73 =

= -0,01х³ – 0,23х² + 1,27х + 0,64

Интерполяционный  многочлен Ньютона

у₁₀ = = 1,13,   у₂₁ = = = 0,79,

 у₃₂ = = = -0,16,

 у₂₁₀ = = = -0,15, у₃₂₁ = = =-0,18,

у₃₂₁₀ = = = -0,004.

У= 4 + 1,13(х  – 2,8) + 0,004(х – 2,8)(х – 4,3)(х-6,2).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     В данной работе численные методы применялись  при нахождении действительных корней уравнения, вычислении приближенного значения интеграла и построении интерполяционных многочленов.

     При нахождении действительных корней уравнения методом простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0, 00001 были получены следующие результаты:

     Метод Ньютона. Для функции f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5 имеем х 1,5761462. 

     Метод простой итерациих х 1,57646

     В обоих случаях получены приближенные значения корня уравнения.

     При вычислении приближенное значение интеграла

     По  формуле трапеции (n=10)

      =  85,5

     По  формуле Симпсона (n=10)

      = 106,6

     Интерполяционный  многочлен Лагранжа

     L₄ (x) = -0,01х³ – 0,23х² + 1,27х + 0,64

     Интерполяционный  многочлен Ньютона

     У= 4 + 1,13(х – 2,8) + 0,004(х – 2,8)(х – 4,3)(х-6,2).

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Пирумов, У.Г. Численные методы : учеб. пособие  для студ. втузов. - М. : Дрофа, 2003,
2. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - М. : Высшая школа, 2000.
3. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 2001.
4. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М. : Изд-во МАИ, 2000.
5. Волков, Е.А. Численные методы. - М. : Наука, 1987.
6. Бахвалов, Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.