Действия с приближенными величинами

     

     

          

     Метод трапеций 

     

     Метод трапеций основан на том, что криволинейная трапеция приближается прямолинейной (Рис. 8). Т.е. площади вычисляются по следующей формуле:

       

     Таким образом, получаем общую формулу  трапеций:

      .   

     Теперь  оценим погрешность метода. Вывод  формулы погрешности аналогичен выводу, поэтому приведём сразу окончательную оценку погрешности для непрерывной f’’(x):

      ;   

     для кусочно-непрерывной f’’(x):

        

     Оценивая  n и h, получим:

           

           

     Для кусочно-непрерывной f’’(x):

           

          

     Как видно из полученных формул погрешность метода средних примерно вдвое меньше погрешности метода трапеций. Очевидно, что если функция определена на всём интервале, лучше пользоваться методом средних, метод трапеций используют обычно для функций определённых только в узлах сетки. Знаки главного члена погрешности у формул трапеций и средних разные. Поэтому, если есть расчёты по обеим формулам, то точное значение интервала лежит, как правило, в вилке между ними. Деление этой вилки как 2:1 даёт уточнённый результат близкий к тому, который получается при использовании более точного метода Симпсона.

     Метод Симпсона

     Этот  метод основан на том, что функция  f(x) приближается на отрезке [x_i-h, x_i+h] параболой (причём x_i отстоит от x_i+1 на расстоянии 2h) (Рис.9). То есть через заданные точки проводится парабола. Но известно, что уравнение параболы имеет вид ρ(x)=ax²+bx+c, т.е. чтобы определить коэффициенты a, b, c необходимо решить систему из трёх уравнений, а для этого необходимо знать координаты как минимум трёх точек, через которые проходит парабола ρ(x). В связи с этим, в отличие от предыдущих методов, для вычисления площади отдельной криволинейной трапеции понадобиться не две, а три точки. Для вывода формулы Симпсона рассмотрим подробнее i-ю криволинейную трапецию ограниченную сверху параболой ρ_i(x).

     

     Для упрощения расчётов сделаем следующие  преобразования. Перенесём i-ю криволинейную трапецию в начало координат так, что x_i=0 (следовательно, x_i-h=-h, x_i+h=h). Очевидно, что её площадь не изменится. Найдём её площадь (Рис. 10). Для нахождения площади криволинейной трапеции необходимо знать форму кривой ограничивающей её. В нашем случае это парабола . Для нахождения коэффициентов a_i, b_i, c_i составим систему из трёх уравнений. Для простоты обозначим

     a_i≡a, b_i≡b, c_i≡c, f(x_i-h)≡f₀, f(x_i)≡f₁, f(x_i+h)≡f₁.

     Получаем  общую формулу Симпсона: 

     

     

     Для упрощения этой формулы учтём, что 

      , , ,

     где a и b – границы отрезка интегрирования [a, b]. С учётом этого получим:

     

     

      ,

     где n – количество отрезков длиною 2h. То есть количество отрезков h, на которые разбит отрезок [a, b] должно быть обязательно чётным. Длина отрезка [a, b] равна 2nh.

     Учитывая, что для метода Симпсона , запишем формулы оценки n и h для заданного ε. Для непрерывной : 

      ,

      . 

     Мажорантные оценки для кусочно-непрерывной : 

      ,

      .

     Метод Гаусса

     При заданном числе интервалов разбиения  следует расположить их концы  так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования. В математическом плане это означает выбор коэффициентов A_i и узлов t_i, i=1,...,n квадратурных формул Гаусса:

     

     такими, чтобы формулы были точны для  многочленов наивысшей возможной степени N. Можно показать, что при n узлах точно интерпретируются все многочлены степени N£2n-1.

     Узлы  t_i являются корнями многочлена Лежандра:

      .

     Коэффициенты  A_i вычисляются по формуле:

      ,   i=1,...,n.

     Погрешность усечения R_n:

      ,  tÎ[-1,1].

     Для вычисления интеграла  отрезок [a,b] преобразуется в отрезок [-1,1] путем замены переменной:

      .

     В результате формула Гаусса приобретает  вид

      ,

     где ,  .

     Квадратурная  формула Гаусса обеспечивает высокую точность вычислений при небольшом числе узлов.

     Интерполяционный  многочлен Лагранжа

     Пусть функция y=f(x) задана таблицей (*). Построим интерполяционный многочлен L_n(x) степень которого не больше n, и выполняются условия (3.1): L_n(x_i)=y_i, i=0, 1, …, n

     Будем искать L_n(x) в виде , где p_i(x) многочлен степени n и , т.е. p_i(x) только в одной точке отличен от нуля при i=j, а остальных точках он обращается в нуль. Следовательно, все эти точки являются для него корнями: 
p_i(x)=c(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_i-1)(x-x_i+1)…(x-x_n) 
при x=x_i 
p_i(x_i)=c(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)  
1=c(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)  
c=[(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)_]-1

     подставим с в формулу p_i(x), получим (3.2):

     

     Это и есть интерполяционный многочлен  Лагранжа. По таблице (*) формула (3.2) позволяет весьма просто составить внешний вид многочлена.

     Многочлен Ньютона интерполяционный – как и другие интерполяционные формулы, служит для построения многочлена n-й степени, который совпадает в (n+1) точке co значениями неизвестной искомой функции у = f(x).

     Пусть  в  точках  х₀, х₁, …, х_n+1  значения  функции  у = f(x)  равны  соответственно у₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …, y_n+1 = f(x_n+1).

     Построим  интерполяционный многочлен Ньютона с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого запишем искомый многочлен в виде 
P_n(x) = b₀ + b₁(x – x₀) + b₂(x – x₀)(x – x₁) + b₃(x – x₀)(x – x₁)(x – x₂) + … + b_n(x – x₀)…(x – x_n). (1)

     Последовательно подставляя в формулу (1) вместо х данные значения х₀, х₁, ..., х_n+1, получим для нахождения неопределенных коэффициентов b₀, b₁, ..., b_n «треугольную» систему уравнений

       
(при подстановке в равенство  (1) вместо х числа х₀ в правой части равенства обратились в нуль все слагаемые, кроме первого: там везде был множитель (х – х₀), обратившийся  в нуль; при подстановке х = х₁ обратились в нуль все слагаемые, кроме первого и второго – они содержат множитель (х – х₁) и т.д.).

       Полученную систему удобно решать: из первого её уравнения находим  свободный член искомого многочлена b₀; подставив его во второе уравнение, находим коэффициент  b₁ при первой степени х в искомом многочлене: 
 
и т.д.  

     Для интерполяционного многочлена Ньютона  можно выписать явные выражения коэффициентов через данные задачи, а также и оценки точности замены неизвестной функции f(x) этим многочленом.

 

      3. Расчетная часть 

1. Найти  действительные корни уравнения  методом простых итераций и  касательных (Ньютона) с точностью до 0, 00001. 

Нахождение приближенных значений действительных корней включает в себя

а) определение  их числа

б) отделение  корней, т.е отыскание достаточно малых промежутков в каждом из которых заключен один и только один корень уравнения.

с) вычисление корней с заданной точностью. 

f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5

1) Определим  число корней уравнения графическим  способом. Для этого преобразуем  исходное уравнение к следующему  эквивалентному виду: 

х³ = 6х² - 13х + 9,5

Построив  графики функций  f₁(x) = х³  f₂(x) = 6х² - 13х + 9,5, определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 1,5 < х < 2

f₁(x) = х³  - кубическая функция, график - кубическая парабола.

 

 

f₂(x) = 6х² - 13х + 9,5 квадратичная функция, график – парабола. 

 

 

Метод Ньютона. Определим поведение первой и второй производной функции f(x) на интервале уточнения корня.

Для функции  f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5 имеем:

 

f `(x) = 3х<sup>2</sup> -  12х + 13,  f `(1,5) = 1,75, f `(2,1) = 2,03

f ``(x) = 6x – 12 f ``(1,5) = -3, f ``(2,1) = 0,6,

 В качестве начального приближения выберем правую границу интервала, х⁽⁰⁾ = 2,1, для которой выполняется неравенство:

f(2,1) f ``(2,1) > 0.

Дальнейшие  вычисления производим по формуле:

f(x^(k)) = х^3(k) – 6х^2(k) + 13х^(k) – 9,5, f`(x^(k)) = 3х^2(k) -  12х^(k) + 13.

Итерации  завершаются при выполнении условия | х^(к+1) -  х^(к) | < ε.

Результаты  вычислений занесем в таблицу: