Контрольная работа по "Эконометрике"

5. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.

Задача  №5. 

По территориям  Сибирского и Уральского федеральных  округов России имеются данные о  следующих показателях за 2000 год:

Y₁ – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.

Y₂ - розничный товарооборот, млрд. руб.

X_{1 –} основные фонды в экономике, млрд. руб.

X₂ - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.

X₃- среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб. 

Изучения  связи социально-экономических показателей  предполагает проверку следующих рабочих гипотез:

 
 
 

Для их проверки выполнена обработка фактических  данных и получена следующая система  приведённых уравнений:

 

    Задание:  

1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;

2. Проанализируйте результаты  решения приведённых уравнений;

3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;

4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и  

         _{Решение:} 

1. Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:

2.В соответствии со счётным правилом оба уравнения и система в целом являются точно идентифицированными и это означает, что они имеют единственное решение, которое может быть получено косвенным МНК (КМНК). 

 

3. Процедура КМНК состоит в том, чтобы путём преобразования результатов решения приведённых уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый приём подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том случае, если выполняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить первое структурное уравнение из первого, приведённого необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак выразить через Y2, используя результаты второго приведённого уравнения. То есть:

 

После подстановки  значения в первое приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:

 

Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товарооборота, от размера инвестиций в экономику и от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Указанные переменные объясняют 94,4% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надёжными, так как  
для . 
Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости. 
Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения. Выразим отсутствующий в уравнении через Y1, используя результаты построения первого приведённого уравнения. То есть: 

 

После подстановки  значения во второе приведённое уравнение  и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:

 

Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимости ВРП, основных фондов в экономике, от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Данный перечень переменных объясняет 96,3% вариации оборота розничной торговли, а соотношение позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости. 

4. Для выполнения прогнозных расчётов и наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных ( ) подставляются в приведённые уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведённых моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений. 
 
 
 
 
 

Задача  №6. 

   Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – N_t, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации. 

 

   Задание: 

1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - N_t

2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда

3. Оцените полученные результаты:

• с помощью показателей тесноты связи  ( r  и r² );
• значимость модели тренда (F -критерий);
• качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.

5. Проанализируйте полученные результаты. 

   Решение: 

1.Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём  дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени.

2. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, Расчёт определителя системы выполним по формуле: 
 
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле: 
 
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле: 
                                                                                                                                       Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты: 
; .                                                                                                                         В конечном счёте, уравнение линейного тренда имеет вид:

 
3.Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: ;                                                                                         Уравнение линейного тренда детерминирует 91,96% вариации численности занятых.

   Таблица№ 1.

 

Средняя ошибка аппроксимации  очень невелика ( = 4,594%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач.  
Фактическое значение F-критерия и сравнение с 5,59 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда. 
Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран, верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактических уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений.

Выполним расчёт в таблице. Поместим во второй графе  фактические отклонения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки, на один год вниз; обозначим их через и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:

Используем значения определителей второго порядка  для расчёта коэффициента регрессии с1, который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:

Отсюда  . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

    

В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение  фактического и табличного значений F- критерия: . Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений может быть принята, отклонения не связаны между собой и являются случайными величинами. 

  Таблица №2