Принципы и методы формирования инвестиционного портфеля

                                                                                    n                        n    n

=∑ + ∑ ∑W_iW_j

                                                                                   i=1                      i=1 j=1

Если  вспомнить, что коэффициент корреляции ρ_i,j = , то эту формулу можно представить в виде:

                                                                              n                         n    n

=∑ + ∑ ∑W_iW_j ρ_i,j

                                                                            i=1                      i=1 j=1 

Допущение 5:Если информация на рынок поступает хаотично, то возникает нормальное Гауссовское распределение, то значение для модели имеют 2 значения: риск и доходность 

3.2.Модель Шарпа¹³

Для избежания  высокой трудоемкости Шарп предложил  индексную модель. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может  быть найдено со значительно меньшими усилиями. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать 2 случайные зависимые переменные величины X и Y линейным выражением типа:

Y=α+βX

X- величина какого-либо рыночного показателя. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве такой переменной рассматривал доходность рыночного портфеля r_m. В качестве переменной Y берётся отдача r_i какой-то i-й акции портфеля.

Зависимость доходности ценной бумаги от индекса  описывается следующей формулой:

_{ri,t =αi+βi*rm,t+εi,t}    

r_i,t– доходность i-й акции портфеля за шаг t

r_m,t– доходность рыночного портфеля в момент t(индекс РТС, ММВБ);

α_i– «коэффициент альфа»; показывает какая часть доходности i-й акции портфеля не связана с изменениями доходности рыночного портфеля ;

β_i – «коэффициент бета», показывающий чувствительность доходности i-й акции портфеля к изменениям рыночной доходности ;

ε_i,t– случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения r_i,t  и r_m,t отклоняются от линейной зависимости.

Для нахождения параметров α_i и β_i по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов(МНК) . По этому методу в качестве параметров α_i   и β_i берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок ε_i,t. Следовательно, если мы рассматриваем регрессионную модель, описывающую зависимостью доходности какой-то ценной бумаги r _i,t и рыночного портфеля  r _m,t  за N наблюдаемых в прошлом шагов расчёта, то в качестве параметров надо взять такие значения α_i  и β_i  , при которых величина

                                                                   

                                                                             ^{N                              N} 
                                       ∑ (ε _i,t)² = ∑ [r _i,t - ( α _{i  +} β _i  * r _m,t  )]

                                                             _{t=1                    t=1}

достигает минимума. Данное выражение имеет  минимум, когда параметры α _i  и β _i  принимают следующие значения:

α _i=E(r _i)-β _i * E (r _m)

Свободный член α _i  в регрессионной модели вычисляют как разность между ожидаемым значением E(r _i) наблюдавшихся в течение N шагов величин r _i,t и взвешенным ожидаемым значением E (r _m) наблюдавшихся в течение этих же шагов расчёта величин r _m,t, где весом служит параметр β _i 

Шарп  ввел b-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля, который определяет чувствительность доходности i-й акции портфеля к изменениям рыночной доходности

β_i =

 s_i,m – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка;

s²_m – дисперсия доходности рынка.

Показатель  «бета» характеризует степень риска  бумаги и показывает, во сколько  раз изменение цены бумаги превышает  изменение рынка в целом. Если β>1, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к. ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если β<1, то степень риска этой бумаги относительно низкая, поскольку в течение периода расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если бета меньше нуля, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода расчета (акции считаются рискованными, чем рынок в целом).

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся  значения дисперсий σ² _{ε ,i} случайных ошибок, то общая формула для её вычисления будет выглядеть следующим образом:

σ² _{ε ,i}= Е [ε _i,t –Е (ε _i,t)]²

Но поскольку  Е (ε_i)= 0,имеем:

                                                                                                               N

σ² _{ε ,i}= Е [ε _i,t]² =∑ [r _i,t - ( α _{i  +} β _i  * r _m,t  )]

                                                                                                  _i=1

где N - степень свободы.

Если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии α _i  и β _i   позволяет выразить с их помощью ве начальные элементы- ожидаемую доходность E(r_i) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии σ²_i и ковариации σ_i,j доходностей этих ценных бумаг:

E(r_i)= α_i+β_i*E(r_m)

σ²_i = β²_i * σ²_m + σ² _{ε ,i}

σ_i,j = β_i * β_j * σ²_m

Сокращение объёма вычислений в модели Шарпа происходит потому, что все парные ковариации σ_i,j  между доходностями ценных бумаг в портфеле предполагается равным нулю. чтобы отразить взаимное влияние риска одной ценной бумаги на риск другой ценной бумаги, Шарп предложил свести эти ковариационные эффекты к взаимосвязи ценных бумаг портфеля с каким-то рыночным индексом, т.е. корреляция между доходностями ценных бумаг в портфеле выражается с помощью рыночного индекса.

Определение ожидаемой доходности портфеля.¹⁴

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг вычисляется по формуле                                            n

E(r_n)= ∑ W_i *E(r_i) (1)

                                                                                               i=1

где W_i – вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для r_i из формулы  _{ri,t =αi+βi*rm,t+εi,t} :

                            n                                   n                         n    

E(r_n)= ∑ W_i E(α_i+ β_i r_m+ε_i)= ∑ W_i*(α_i+ ε_i )+ ∑ W_i β_i *E(r_m) (2)

                                            i=1                                                   i=1                                   i=1

Для придания этой формуле компактности , Шарп предложил  считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (2) можно представить в виде:

                                                         n

∑ W_i β_i *E(r_m)= W _n+1 E(α _n+1 +ε _n+1) (3)

                                                        i=1

                              n

где, W _n+1=∑ W_i β_i (3а)

                           i=1

         α _n+1 +ε _n+1= r_m

При этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: σ² _ε,n+1= σ²_m. Выражение (3а) представляет собой сумму взвешенных величин «беты»( β_i) каждой ценной бумаги, называется портфельной бетой (β_n). С учётом выражений (2) и (3) формулу (1) можно записать так:

                                                                                                  n+1

E(r_n)= ∑ W_i E(α_i+ ε_i)

                                                                                                 i=1

а поскольку  E(ε_i)=0, то окончательно имеем:

                                                                                                          n+1

E(r_n)= ∑ W_iα_i

                                                                                                          i=1

Итак, ожидаемую  доходность портфеля E(r_n) можно представить состоящей из двух частей:

а).суммы взвешенных параметров α_i  каждой ценной бумаги - W₁α₁+ +W₂α₂+…+W_nα_n,что отражает вклад в E(r_n) самих ценных бумаг, и