Автоматизированное проектирование системы управления технологическим процессом производства цемента

    • 'burg' – метод Бэрга (комбинация метода наименьших квадратов с минимизацией гармонического среднего);

    • 'gl' – метод с использованием гармонического среднего;

         Если любое из данных значений  заканчивается нулем (например, burg0), то вычисление сопровождается оцениванием корреляционных функций.

         Аргумент win (строковая переменная) используется в случае отсутствия части данных:

    • win =‘now’ – используются только имеющиеся данные (используется по умолчанию, за исключением случая approach = ‘yw’);

    • window = 'prw’ – отсутствующие начальные данные заменяются нулями, так что суммирование  начинается с нулевого момента времени;

    • window = 'pow’ – последующие отсутствующие данные заменяются нулями, так что суммирование расширяется до момента времени N + n;

    • window = ‘ppw’ – и начальные, и последующие отсутствующие данные заменяются нулями (используется в алгоритме Юла-Уокера);

    Арумент maxsize определяет максимальную размерность задачи; Т – интервал дискретизации.

    Возвращаемые  величины:

    • th – полученная модель авторегрессии в тета-формате (внутреннем матричном формате представления параметрических моделей пакета System Identification);

    

    • relf – информация о коэффициентах и функции потерь;

    

         Для использования функция параметрического оценивания ar необходимо из массива экспериментальных данных, записанных в файле dan выделить выходную переменную у с помощью команды

>> y=dan.y,

что равносильно  команде

     >> y=get(dan,'y')

>> th =ar(y,4)

Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = e(t)                    

A(q) = 1 - 1.348 q^-1 + 0.6695 q^-2 - 0.2531 q^-3 - 0.04431 q^-4                                                               

Estimated using AR ('fb'/'now') from data set y                

Loss function 0.0140559 and FPE 0.0141588                      

Sampling interval: 1 

 Полная информация о модели авторегрессии  th  может быть получена с помощью команды:

>> present(th)

Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = e(t)                          

A(q) = 1 - 1.348 (+-0.03022) q^-1 + 0.6695 (+-0.05018) q^-2          

                  - 0.2531 (+-0.05018) q^-3 - 0.04431 (+-0.03023) q^-4                                                                                                                                          

Estimated using AR ('fb'/'now') from data set y                      

Loss function 0.0140559 and FPE 0.0141588                            

Sampling interval: 1                                                 

Created:       17-Dec-2009 10:51:00                                  

Last modified: 17-Dec-2009 10:51:00     

     В информации приведены сведения о том, что модель является дискретной и для оценивания ее параметров используется прямой-обратный метод (разновидность метода наименьших квадратов), на что указывает строковая переменная  'fb' (используется по умолчанию); для построения модели используются только имеющиеся данные у, на что указывает строковая переменная 'now' (используется по умолчанию); определены: функция потерь Loss function, как остаточная сумма квадратов ошибки и так называемый теоретический информационный критерий Акейке (Akaike's Information Theoretic Criterion – AIC)  FPE; интервал дискретизации Sampling interval.

       Следующая функция arx оценивает параметры модели AR и ARX: параметры модели ARX, представленной зависимостью:

A(z)y(t) = B(z) u(t) + e(t) ,

или в развернутом виде:

y(t) + а₁y(t-1) + …+ а_na y(t-n) = b₁ u(t) +  b₂ u(t - 1) + …+ b_nb u(t - m) + e(t).

Здесь и  ниже e(t) – дискретный белый шум.

B(z) = b₁ + b₂ z^-1 + …+ b_bn z^{-nb + 1}

     Функция имеет следующий синтаксис:

dar = arx(z,nn).

       Или другое написание, позволяющее  изменять параметры моделирования: 

dar = arx(z,nn,maxsize,T),

где z – экспериментальные данные;

      nn – задаваемые параметры модели (аргумент nn содержит три параметра: na – порядок ( число коэффициентов) полинома A(z); nb – порядок полинома B(z); nk – величина задержки;

      maxsize - максимальная размерность задачи;

      Т – интервал дискретизации.

      Естественно задаться вопросом: Какую степень полинома выбрать?  Известно, что с увеличением порядка  полиномов улучшается степень  адекватности модели реальному  объекту. Однако при этом получаются  громоздкие выражения, и увеличивается  время моделирования. Поэтому  для нахождения оптимального  порядка полиномов можно воспользоваться  функциями выбора структуры модели:

      Функция  arxstruc вычисляет функции потерь для ряда различных конкурирующих ARX моделей с одним выходом:

v = arxstruc(ze,zv,NN),

     или v = arxstruc(ze,zv,NN, maxsize);

     где: ze,zv – соответственно, матрицы экспериментальных данных для оценивания и верификации моделей;

           NN – матрица задания конкурирующих структур со строками вида nn = [na nb nk];

           maxsize - максимальная размерность задачи.

         Возвращаемая величина v – матрица, верхние элементы каждого столбца которой (кроме последнего) являются значениями функции потерь для ARX моделей, структура которых отображается последующими элементами столбцов (т. е. каждый столбец соответствует одной модели). Первый элемент последнего столбца – это число значений экспериментальных данных для верификации моделей.

         Функция  selstruc осуществляет выбор наилучшей структуры модели из ряда возможных вариантов

[nn,vmod]=selstruc(v)

[nn,vmod]=selstruc(v,с),

где: v – матрица, возвращаемая функцией arxstruc;

с – строковая переменная, определяющая вывод графика или критерий отбора наилучшей структуры:

         при с = ‘plot’ выводится график зависимости функции потерь от числа оцениваемых коэффициентов модели

         при с = ‘log’ выводится график логарифма функции потерь;

         при с = ‘aic’ график не выводится, но возвращается структура, минимизирующая теоретический информационный критерий Акейке (AIC).

при с = ‘mdl’ возвращается структура, обеспечивающая минимум критерия Риссанена минимальной длины описания;

         при с равном некоторому численному значению а, выбирается структура, которая минимизирует значение функции потерь v_mod = v(1 + a(d/N)), где N – объем выборки экспериментальных данных, используемых для оценивания; d – число оцениваемых коэффициентов модели; v – значение функции потерь.

        Возвращаемые величины: nn – выбранная структура;  vmod – значение соответствующего критерия.

        Например, для данных dryer2 можно задать пределы изменения порядка модели:

>> NN=struc(1:10,1:10,1);

Вычислить функции потерь:

>> v=arxstruc(zdane,zdanv,NN);

И выбрать  наилучшую структуру порядков полиномов:

>> [nn,vmod]=selstruc(v,'plot'),

где 'plot' – строковая переменная, определяющая вывод графика зависимости функции потерь от числа оцениваемых коэффициентов модели (рис. 2. 8).

 

        Рис. 2. 8. Окно выбора структуры модели

        В появившемся окне столбики указывают на величину функции потерь. При подведении курсора к соответствующему столбику, в правом поле окна отразятся значения порядков полиномов na, nb, nk. В поле графика появятся рекомендации по выбору цвета столбика. Воспользуемся рекомендацией, указанной в поле графика и выберем столбик, окрашенный красным цветом для оптимального значения порядков полиномов и нажмем кнопку Select.

        Взамен строковой переменной 'plot' возможны варианты:

•  'log' – выводится график логарифма функции потерь;

•  'aic' – график не выводится, но возвращается структура, минимизирующая так называемый теоретический информационный критерий  Акейке (Akaike's Information Theoretic Criterion – AIC)  FPE:

,

где v – значение функции потерь, d – число оцениваемых коэффициентов модели, N – объем экспериментальных данных, используемых для оценивания;

•  ‘mdl’ – возвращается структура, обеспечивающая минимум так называемого критерия Риссанена минимальной длины описания (Rissanen’s Minimum Description Lngth – MDL):

;

•  при  строковой переменной, равной некоторому численному значению a, выбирается структура, которая минимизирует:

;

•  vmod – значение соответствующего критерия. 

       Выбор наилучшей структуры порядков  полиномов можно осуществить  и с помощью более простой  команды:

>> nn=selstruc(v,0)

         MATLAB возвращает:                       

  nn =

8     2     1

        С учетом выбранной структуры модели определим вид модели ARX, выполнив функцию arx:

>> darx=arx(zdanv,nn)

      Возвращается матрица из 100 столбцов и 4 строк с значениями различных критериев: vmod =

  vmod =

  Columns 1 through 8 

      0.0107    0.0078    0.0080    0.0078    0.0079    0.0079    0.0079    0.0079

      1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

      1.0000    2.0000    3.0000    4.0000    5.0000    6.0000    7.0000    8.0000

      1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000 

    Columns 9 through 16 

      0.0079    0.0079    0.0084    0.0072    0.0073    0.0073    0.0072    0.0072

      1.0000    1.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000

      9.0000   10.0000    1.0000    2.0000    3.0000    4.0000    5.0000    6.0000

      1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000 

    Columns 17 through 24 

      0.0073    0.0073    0.0073    0.0073    0.0079    0.0070    0.0072    0.0072

      2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000

      7.0000    8.0000    9.0000   10.0000    1.0000    2.0000    3.0000    4.0000

      1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000 

    Columns 25 through 32 

      0.0072    0.0072    0.0072    0.0072    0.0073    0.0073    0.0079    0.0071

      3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    4.0000    4.0000