Статистика

 

     Замечание. Если генеральная дисперсия неизвестна, то вместо нее можно взять исправленную выборочную дисперсию. При больших выборках

( >30) отношение , и вместо генеральной дисперсии можно использовать выборочную дисперсию.

     Пример 2.1

     Из  общей численности рабочих предприятия 5000 человек в порядке собственно случайного бесповторного отбора было отобрано 500 человек для изучения времени простоев в течение рабочего дня. Результаты наблюдения отражены в табл. 2.2

 

Таблица 2.2 

    Распределение выборочной численности рабочих

    предприятия по времени простоев 

 

     С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится среднее время простоя одного рабочего на предприятии.

     Решение

1. Выборочная средняя времени простоя одного рабочего:

       (мин).

2. Выборочная дисперсия времени простоя одного рабочего:

.

3. Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью =0,997 для бесповторного отбора:

    

;

     где коэффициент доверия =3 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью =0,997.

     4) Среднее время простоя одного рабочего на предприятии с вероятностью 0,997 находится в интервале от 32,77 минут до 36,84 минут, что вытекает из интервальной оценки генеральной средней:

     

,

     т.е. 34,8–2,03

34,8+2,03. 

     Аналогично  находится интервальная оценка генеральной доли:

    

,

     где выборочная доля, которая находится по формуле:

      
       – число единиц выборочной совокупности,

             – число единиц, обладающих указанным признаком,

             генеральная доля,

            – предельная ошибка выборочной доли для заданной доверительно вероятности .

     Предельная ошибка выборочной доли

     а) для повторного собственно случайного отбора:

     

,

     б) для бесповторного собственно случайного отбора:

    

,

     где – коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности (см. табл. 2.1).

     Пример 2.2

     По  данным примера 2.1 с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше.

     Решение

     1) Выборочная доля рабочих, у  которых время простоя от 30 минут  и выше:

     

.

     2) Предельная ошибка выборочной  доли с вероятностью  =0,954 для бесповторного отбора:

     

;

     где коэффициент доверия  =2 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью  =0,954.

     3) Доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше с вероятностью 0,954 находится в интервале от 0,597 до 0,679, что вытекает из интервальной оценки генеральной доли:

    

,

    т.е. 0,638–0,041

0,638+0,041. 
 

     2.4 Определение необходимой численности выборки 

     При организации выборочного наблюдения очень важно предварительно решить вопрос о том, сколько единиц должно быть отобрано в выборку.

     Необходимая численность выборки ( ) определяется на основе формул предельной ошибки выборки.

     Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной средней

     а) для повторного собственно случайного отбора:

     

,

     б) для бесповторного собственно случайного отбора:

    

.

     Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной доли

     а) для повторного собственно случайного отбора:

     

,

     б) для бесповторного собственно случайного отбора:

    

.

     Пример 2.3

     На  заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки  рабочих методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность  выборки, чтобы с вероятностью 0,991 ошибка выборки не превышала 5 шт., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 225?

     Решение

    Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной средней для повторного собственно случайного отбора:

    

.

     Итак, для получения желаемого результата необходимо отобрать 61 рабочего.

3 РЯДЫ ДИНАМИКИ 

3.1 Построение рядов динамики 

     Ряд динамики (временной  ряд) - ряд показателей, характеризующих развитие явления во времени, состоит из двух элементов - времени ряда (моменты или периоды) и уровней ряда (показателей величины явления).

     Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают начальный, конечный и средний уровень ряда. Начальный уровень - это величина первого члена ряда, конечный – последнего, средний уровень - средняя из всех значений динамического ряда.

     По  времени, отражаемому в рядах, ряды динамики делят на моментные (моментом обычно является дата, на которую относится уровень) и интервальные (уровни ряда выражают размер явления за промежуток времени).

     По  полноте времени, отражаемого в рядах, ряды динамики делят на полные (даты или периоды следуют друг за другом с равным интервалом) и неполные (равный интервал не соблюдается).

     По  способу выражения уровней, ряды динамики делят на ряды абсолютных величин, ряды средних величин и ряды относительных величин. 

    3.2 Показатели анализа рядов динамики 

     Для  анализа ряда динамики применяют  следующие базисные и цепные показатели анализа рядов динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.

     Уровень, который сравнивается, называется текущим.

     Если  каждый уровень ряда сравнивается с  предыдущим, то получают цепные показатели, а если с одним и тем же начальным уровнем, то получают  базисные показатели.

     Абсолютный  прирост характеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени. Он определяется как разность между текущим и предыдущим уровнями (цепной) или между текущим и начальным уровнями (базисный).

     Темпом  роста называется отношение текущего уровня к предыдущему (цепной) или текущего уровня к начальному (базисный).

     Темпом  прироста называется отношение цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню (цепной) или базисного абсолютного прироста к начальному уровню (базисный).

     Обозначим:

     У₀ - базисный (начальный) уровень;

     У_i - текущий уровень;

     У_i-1 - уровень, предшествующий У_i.

      - цепной абсолютный прирост;

      - базисный абсолютный прирост;

      - темп роста цепной;

      - темп роста базисный;

      - темп прироста цепной;

      - темп прироста базисный.

     Расчет  этих показателей будет выражаться формулами, приведенными в табл. 3.1 (в коэффициентах). 

    Таблица 3.1

 

     Абсолютное  значение 1% прироста (a_i ) – есть отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, т.е.

    

( в 1% прироста).

     Пример 3.1

     В Ивановской области за период с 1980 г. по 1984г. производство сборных железобетонных конструкций и деталей составляло (см. табл. 3.2). 

    Таблица 3.2

    Производство сборных железобетонных конструкций и деталей

В Ивановской области за 1980–1984 годы

 

     Вычислить показатели анализа данного ряда динамики.

     Решение

     Показатели  анализа данного ряда динамики найдены непосредственно в таблице (см. табл. 3.3) по вышеприведенным формулам.