Основы применения экспертных оценок при принятии решений в условиях ограниченной информации

 

 

Пример. Три эксперта оценили предполагаемое время реализации двух проектов в условных единицах методом непосредственной оценки:

Эксперты	Проект 1		Проект 2
	Вариант1	Вариант2
1 2 3	3 8 5	3 6 5	8 7 5

 

Итак, n = 2, m =3 Можно ли принять среднее значение в качестве достоверного прогноза? Оценим разброс мнений экспертов:

= (8 + 7 + 5)/3 = 6.7

    = (3 + 8 + 5)/3 = 5.33

 S22 = (1.32+0.32+1.72)/(3-1) = 2.33

 S2 = 1.52,

S12 = 6.07,

S1 = 2.46.

Коэффициенты вариации

v1= 2.46/5.33 = 0.46

v2= 1.52/6.7 =0.23.

Можно было бы ограничиться полученными результатами и сделать вывод о несогласованности мнений экспертов по  каждому проекту. Однако проверим степень согласованности по всем оцениваемым объектам, для чего проранжируем оценки.

 

Вариант 1.

Эксперты	Проект 1	Проект 2
1 2 3	1 2 1,5*	2 1 1,5*

 

* Эксперт  З присвоил одинаковые оценки  проектам, следовательно, и одинаковый  ранг, равный (1 + 2)/2 =1.5.

Итак, Ri = 1+2+1.5 = 4.5, R2 = 2+1+1.5 = 4.5, = 4.5, DR1 = 0 , DR2 = 0 .

У первого и второго эксперта совпавших решений нет, следовательно, Тj определяем только по оценкам эксперта 3:

T3 = 23-2 = 6,

 m

STj = 6

i

 

Коэффициент согласия W = 0 , DRi = 0.

Вывод: согласованности в оценках экспертов нет.

 

Вариант 2.

Эксперты	Проект 1	Проект 2
1 2 3	1 1,5 1,5	2 2 1,5

 

Итак, R1 = 3.5, R2 = 5,5, DR = 4.5, DR1 = -1, DR2 =+1, Тj=6. Отсюда

При числе степеней свободы (m - 1) = 3 - 1 = 2 коэффициент значимости a = 0,4.

  Вывод: при  достаточно хорошей согласованности оценок (W>0,5) существует большая вероятность того, что это случайное совпадение.

 

Метод парных сравнений используют при следующих условиях: сравниваемых объектов много (n ³ 6); различия между ними так незначительны, что ранжирование и непосредственная оценка затруднительны.

Метод заключается в попарном сопоставлении между собой исследуемых факторов или показателей с тем, чтобы в каждой паре установить наиболее важный. Для облегчения процедуры составляют матрицу парных сравнений. На пересечении строки и столбца каждый эксперт j проставляет оценку Pikj (i — строки, k — столбцы); если i предпочтительнее k, то Pikj = 1, если наоборот, то Pikj = 0. Относительное число предпочтений (удельный вес предпочтений) определяется как

          m

Pik = S Pikj / m ,

          j

где S Pikj — число экспертов, отдавших предпочтение фактору i,

j — номер эксперта;

m — общее  число экспертов.

Численность группы экспертов должна быть достаточной, поскольку относительное число предпочтений Pik рассматривают как вероятность предпочтения показателя i показателю k, и предполагают, что оценки экспертов распределены по нормальному закону; Pik+ Рki = 1.

При этом Pik рассматривают как площадь нормированного нормального распределения от -µ до хik. В матрице предпочтений каждая оценка Рik — это различие между оценкой показателя i и оценкой показателя k в стандартных отклонениях.

Так как

        n

xi = S xik

            i

 и среднее  значение

        n

i = S xi / n

            i

то по значению i, в табл. 2. значений функции нормированного нормального распределения (функции Лапласа) находят Ф(х) — вероятность предпочтения i-го показателя с учетом мнений всех экспертов. Это и будет относительная важность bi. Полученные значения нормируют, т.е. определяют

               n

wi = рi / S рi

                   i

нормированное значение относительной важности i-го показателя.

Таблица 1

Значения функции нормированного нормального распределения    Таблица 2

х	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)
-3	0,0013	-1.5	0,0668	0.0	0,5000	1,5	0,9332
-2,9	0,0019	-1,4	0,0808	0.1	0,5398	1,6	0,9452
-2,8	0.0026	-1,3	0,0968	0,2	0,5793	1,7	0,9554
-2,7	0,0035	-1,2	0,1151	0,3	0,6179	1,8	0,9641
-2,6	0,0047	-1.1	0,1357	0,4	0.6554	1.9	0,9713
-2,5	0,0062	-1,0	0,1587	0,5	0,6915	2,0	0,9772
-2,4	0.0082	-0,9	0,1841	0,6	0,7257	2,1	0,9821
-2,3	0,0107	-0,8	0,2119	0,7	0.7580	2,2	0,9861
-2,2	0,0139	-0,7	0,2420	0,8	0,7881	2,3	0,9893
-2,1	0,0179	-0,6	0.2743	0,9	0,8159	2,4	0,9916
-2,0	0,0228	-0,5	0,3085	1,0	0,8413	2,5	0,9938
-1,9	0,0287	-0,4	0,3446	1,1	0,8643	2,6	0,9953
-1,8	0,0359	-0,3	0,3821	1,2	0,8849	2,7	0.9965
-1,7	0,0446	-0,2	0,4207	1,3	0.9032	2,8	0,9974
-1,6	0,0548	-0,1	0,4602	1,4	0,9)92	2,9	0,9981
-	-	0,0	0,5000	-	-	3,0	0.9987

 

 Таким  образом, в результате обработки матриц получают значения важности показателей, уже усредненные по оценкам экспертов.

Пример. Необходимо определить относительную важность пяти показателей: точность (Т), помехоустойчивость (П), масса (М), надежность (Н), стоимость (С).0ценку проводит группа из четырех экспертов, m = 4, n = 5. Каждый эксперт заполняет матрицу парных сравнений, используя оценки 1 и 0. Более важному показателю из двух рассматриваемых присваивают 1.

Эксперт 1

	Т	П	М	Н	С
Т	-	1	1	1	1
П	0	-	0	1	1
М	1	1	-	1	1
Н	0	0	0	-	0
С	0	0	0	1	-

 

 

Эксперт 2

	Т	П	М	Н	С
Т	-	1	0	1	1
П	0	-	1	1	1
М	1	0	-	1	1
Н	0	0	0	-	1
С	0	0	0	0	-

 

 

Эксперт 3

	Т	П	М	Н	С
Т	-	0	1	1	1
П	1	-	0	0	1
М	0	1	-	0	1
Н	0	1	1	-	1
С	0	0	0	0	-

 

Эксперт 4

	Т	П	М	Н	С
Т	-	0	0	0	1
П	1	-	1	1	1
М	1	0	-	0	0
Н	1	0	1	-	1
С	0	0	1	0	-

 

По этим данным рассчитывают удельный вес предпочтений показателя i перед показателем k:

           m

 Рik = SРikj / m.

 

 Например, при оценке надежности по сравнению  с точностью P31 = (0 + 0 + 0 + 1)/4 = 0.25; при оценке точности по сравнению с надежностью P13 = (1 + 1 + 1 + 0) = 0.75  и (P31 + P13) = 1.

 

Обобщенная матрица предпочтений (таблица значений Pik) имеет вид

 

	Т	П	М	Н	С
Т	-	0.5	0.5	0.75	1
П	0.5	-	0.5	0.75	1
М	0.5	0.5	-	0.5	0.75
Н	0.25	0.25	0.5	-	0.75
С	0	0	0.25	0.25	-

 

По значениям Pik определяем значения хik — предпочтение i перед k в стандартных отклонениях. Составляем обобщенную матрицу хik (хik = - хki):

 

	Т	П	М	Н	С	n xi = S xik	N i = S xik / m
Т	-	0	0	0.68	3.9	4.58	1.145
П	0	-	0	0.68	3.9	4.58	1.145
М	0	0	-	0	0.68	0.68	0.17
Н	-0.68	-0.68	0	-	0.68	-0.68	-0.165
С	-3.9	-3.9	-0.68	-0.68	-	-9.16	-2.29

 

 

  По средним  значениям  i, находим значения Ф(х) ( по табл. 2).

Найденное значение определяет вероятность того, что все эксперты отдают предпочтение i-му показателю. Проведя нормирование, получим относительную важность каждого показателя:

 

Показатель	i	р( i) =Ф(х)	Нормированная относительная важность
Точность Помехоустойчивость Масса Надежность Стоимость	1.145 1.145 0.17 -0.165 -2.29	0,8729 0,8729 0,5675 0,4364 0,0106	0.3162 0.3162 0,2056 0,1582 0,0038

 

Преимущество метода парных сравнении в том, что при обработке результатов экспертизы сразу можно получить оценку, усредненную по экспертам. Недостаток — необходимо иметь достаточно большую группу экспертов.

 

Метод последовательных предпочтений (Черчмена-Аккофа) так же, как и метод парных сравнений «заставляет» эксперта не просто «проставить цифру», а хотя бы для себя самого ее обосновать.

Каждый эксперт работает индивидуально, после чего индивидуальные оценки обрабатывают: находят среднее i, коэффициент согласия W и статистическую значимость a по критерию c2.

Эксперт совершает следующие действия:

1. Оценивает  относительную важность bi, представленных показателей, например, в интервале от 0 по 1:

 

Показатель	Эксперт 1	Эксперт 2	Эксперт 3	Эксперт4
Точность	1	0.8	0.6	1
Помехоустойчивость	0.7	1	0.7	0.9
Масса	0.9	0.4	1	0.7
Надежность	0.1	0.3	0.2	0.2
Стоимость	0.5	0.2	0.3	0.3

 

2. Расставляет показатели в порядке предпочтения:

 

Эксперт 1	Эксперт 2	Эксперт 3	Эксперт 4
Т-1	П-1	М-1	T-1
М-0.9	Т-0.8	П-0.7	П-0.9
П-0.7	М-0.4	Т-0.6	М-0.7
С-0.5	Н-0.3	С-0.3	C-0.3
Н-0.1	С-0.2	Н-0.2	Н-0.2