Модели Леонтьева

Теорема: Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора   с неотрицательными компонентами уравнение (1.3) имеет решение   с неотрицательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (1.3) хотя бы для одного положительного вектора  , чтобы матрица А была продуктивной. Перепишем систему (1.3) с использованием единичной матрицы Е в виде

(Е-А) х = y, (2.4)

Если существует обратная матрица (E - А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (2.4):

х = (Е-А)-1y, (2.5)

Матрица (Е  -  А)-1 называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

        n

    ∑ aij   ≤ 1

     i<1

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

2.3. Вектор полных затрат.

Пусть А ≥ 0. Равенство

(Е – А)-1 = Е + А + А2 + … (3.6)

справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

х = у + Ау + А2у + … (3.7)

В чем смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А2у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А2у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А2у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.7). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А2у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

металлургия;

электроэнергетика;

угледобыча.

Для получения конечного выпуска у = (у1 , у2 , у3)Т необходимо прежде всего произвести:

у1 т металла; у2 т электроэнергии; у3 т угля.

Но для производства у1 т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое справедливо и в отношении производства у2 т электроэнергии и у3 т угля

В свою очередь, для производства у11 т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А2у) и т.д.

2.4. Модель равновесных цен.

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х1 , х2, …, хn)Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р1 , р2 , …, рn)Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р1 х1. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а11, второй отрасли в объеме а21, и т.д., n-й отрасли в объеме аn1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х1р1 = х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn) + V1.

Разделив это равенство на х1 получаем:

р1 = а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn + v1,

где v1 = V1/х1 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р2 = а12 р1 + а22 р2 + … + аn2 рn + v2,

рn = а1n р1 + а2n р2 + … + аnn рn + vn.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

р = АТр + v,

где v = (v1, v2, …, vn)Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на АТ.

 

Заключение

Аналитический метод «затраты выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата.

Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.

По мнению В. Леонтьева, межотраслевой анализ может служить основным инструментом стратегического планирования

В настоящее время в национальной экономике существуют и продолжают возникать сложные проблемы, требующие межотраслевых обоснований. Использование же метода “затраты–выпуск” межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать следующие задачи:

- прогноз основных макроэкономических  показателей (выпуск валового и  конечного продукта, чистая продукция, материальные затраты, производственное  потребление продукции и др. в  разрезе отраслей материального  производства) в зависимости от  изменения как внешних, так и внутренних факторов;

- прогноз оптовых цен продукции отраслей материального производства, уровня инфляции, стоимости потребительской корзины;

- прогноз уровня безработицы;

- прогноз экологической обстановки  и оценка затрат на проведение природоохранных мероприятий;

- оценка  эффективности конкретных предложений  по размещению производительных  сил;   
- оценка эффективности межтерриториальных экономических связей;

- и многих других.

Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс   моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Гранкин, А.Г. Василий Леонтьев в мировой и отечественной экономической науке / А.Г. Гранкин // Вопросы экономики. - М.,2009. № 3.-С. 24-32

2. Бункина М.К. Экономические модели Василия Леонтьева.//Финансовый менеджмент.- М., 2002, №1.С. 13-28.

3. Попов, А.М. Экономико-математические методы и модели: Учебник для бакалавров / А.М. Попов. - М.: Юрайт, 2013. –

 4. Балдин, К.В. Математические методы и модели в экономике: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - М.: Флинта, МПСИ, 2012. - 328 c. 
5. Белолипецкий, А.А. Экономико-математические методы: Учебник для студ. высш. учеб. заведений / А.А. Белолипецкий. - М.: ИЦ Академия, 2010. - 368 c.

6. Белолипецкий А.А.: Экономико-математические методы. – М: Академия 2010

7. www.wassily.leontief.net - Сервер Леонтьева В.В