Контрольные карты Шухарта (контроль по доле дефектных изделий – распределение параметра дискретно)

 Таким образом, можно использовать некоторые свойства дискретных данных для вычисления более узких контрольных пределов.

Пример  №1. (см. приложение) 

2.2. Карты для биномиальных величин

   Любая дискретная величина должна  иметь область определения. Именно она и определяет ключевое различие между двумя главными типами дискретных величин.

  Рассмотрим  выборку, состоящую из п элементов, отобранных в случайные моменты времени из потока продукции в некоторой точке производственного процесса. Если каждое из отобранных изделий считается либо годным, либо негодным, то число негодных будет искомой дискретной величиной. Обозначим это число символом Y. Очевидно, что его область определения задается числом отобранных изделий. Оно не может быть меньше 0 и больше n, следовательно, интервал [0; n] полностью определяет набор всех возможных значений величины Y.

Последовательность  таких выборок даст ряд результатов  наблюдений:

^{Y1, Y2,Y3,Y4,Y5,……}

 При определенных условиях для характеристики поведения этого ряда Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,…можно использовать модель биномиальных вероятностей.

Биномиальное  условие 1: область определения дискретной величины Y должна состоять из п различных значений.

Биномиальное  условие 2: каждое из этих значений можно классифицировать как либо обладающее, либо не обладающее неким атрибутом. Обычно таким атрибутом служит несоответствие допускам.

Биномиальное  условие 3: пусть р есть вероятность того, что объект обладает атрибутом. Значение р должно быть постоянным для всех п объектов любой выборки. Хотя карта проверяет, изменяется ли р от выборки к выборке, р должно быть постоянным внутри каждой выборки.

Биномиальное  условие 4: вероятность того, что некий объект обладает атрибутом, не зависит от того, обладал ли им предыдущий объект. (Негодные объекты обычно не образуют кластеры и независимы друг от друга.)

  Когда дискретная величина удовлетворяет  этим четырем условиям, для расчета контрольных пределов последовательности Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,…можно использовать модель биномиальных вероятностей. Следовательно, мы можем использовать в наших вычислениях известное соотношение между средним и стандартным отклонением биномиального распределения. При этом не надо строить карту размахов.

  Буква п здесь обозначает область определения биномиальных величин, а не объем подгруппы (число значений, используемых для вычисления среднего). Биномиальная величина Y — это индивидуальное значение, единственное для каждой «подгруппы».

  Рассмотрим последовательность наблюдаемых значений Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,…

  удовлетворяющую четырем условиям. Эти значения могут  рассматриваться в качестве элементов биномиального распределения с параметрами n и р. Среднее для этого распределения равно

        Y=np

а стандартное отклонение

      

 
  На  практике параметр р заменяется средней долей негодной продукции р за базовый период наблюдений:

 
  

  Таким образом, формулы для расчета 3σ-пределов будут выглядеть следущем образом: 

  

  Пример  №2 (см. приложение)

  Заметим, что процедура использования  np-карты подразумевает равную вероятность негодности для каждой из проверенных деталей. Иными словами, вероятность обнаружения негодной продукции внутри каждой выборки, состоящей из 60 элементов, не меняется. (Сама карта предполагает, что вероятность меняется от выборки к выборке.) 

 2.3. Карты для долей, основанных на биномиальном распределении

Итак, np-карты следует использовать в тех случаях, когда данные распределены по биномиальному закону и все выборки имеют одинаковые области определения. Если же области распределения меняются от выборки к выборке, напрямую сравнивать результаты нельзя. Каждое дискретное значение надо скорректировать, разделив на его область определения. В результате получаются доли рi. Карта атрибутов, построенная для долей рi, называется р-картой.

  В основе р-карты лежит значение выборочной доли негодных изделий р₍, которое определяется по формуле 
 
 

 
 
 где Yi — подсчет для i-й выборки;

 ni — число проверенных изделий в i-й выборке.

 Средняя доля негодных изделий р рассчитывается так же, как и раньше, а контрольные пределы для значений рi определяются так: 
 
 

 

 где нижний контрольный предел имеет смысл только если он положителен.

 Проблема, связанная  с р-картой, заключается в том, что стандартное отклонение зависит о переменной области определения ni. Поскольку область определения меняется, изменяется и вычисленное значение стандартного отклонения, а контрольные пределы приближаются или, наоборот, удаляются от центральной линии. Это означает, что контрольные пределы нужно рассчитывать всегда, когда меняется область определения ni . Если значения ni для каждой выборки различны, контрольные пределы приходится постоянно пересчитывать, и это делает использование р-карт чересчур громоздким и неудобным.

Пример  №3 (см. приложение.)

  Многие  рекомендуют вычислять контрольные  пределы по средней области определения п, если величины ni отклоняются от него не более чем на 20%. В приведенном примере этот подход не работает, поскольку области определения варьируют от 47 до 104.

  Однако, поскольку большинство ni близки либо к 50, либо к 100, можно использовать два набора приближенных контрольных пределов. Один основан на п = 50, а другой — на п = 100. В этом случае точные значения контрольных пределов потребуются только для тех точек, которые лежат очень близко к приближенным. Понятие «близко» субъективно. Во всех случаях, когда рассчитанные доли чуть меньше или чуть больше приблизительных контрольных пределов, надо определять их точные значения.

  Другой  способ, позволяющий избежать вычисления точных значений контрольных пределов для каждого ni , заключается в определении узких и широких пределов. Дело в том, что увеличение области определения ведет к сужению контрольных пределов. Следовательно, если их рассчитывать по наибольшему из ni, вероятность которого достаточно высока при нормальном протекании процесса, то получатся наиболее узкие контрольные пределы из всех возможных. И пока область определения не превышает использованное для вычислений значение ni , все величины долей негодной продукции, лежащие внутри узких контрольных пределов, будут заведомо находиться и внутри точных пределов.

  Так же рассчитываются и широкие контрольные  пределы: при использовании наименьших из имеющихся ni мы получаем чрезмерно завышенные оценки пределов, и, пока область определения превышает наименьшее из имеющихся значений ni , доли, оказывающиеся вне широких пределов, будут заведомо находиться и вне точных. Очевидно, что такие точки будут служить сигналами выхода процесса из состояния статистической управляемости.

  Что же касается точек, лежащих между  широкими и узкими пределами, то для них приходится вычислять точные значения контрольных пределов.

  Хотя  описанные методы и помогают решить проблему переменных контрольных пределов, самый лучший подход — избегать неравных областей определения. Когда подсчеты имеют заведомо неравные области определения, редко удается построить для них эффективные контрольные карты. Контрольные карты для атрибутов эффективнее всего тогда, когда данные собираются специально для анализа при помощи этих контрольных карт. В таком случае обычно легко удается избежать различия областей определения. Подобный случай приведен в примере 2 (вместо использования 100% данных отбиралось только по 60 образцов дважды за смену).

  Хотя  для биномиальных величин с неодинаковыми  областями определения рекомендована р-карта, для таких данных можно построить и nр-карту. Эта карта используется крайне редко по причинам, показанным на рис. 5, где построена nр-карта для данных о неполных счетах.

  Хотя  контрольные карты на рис. 4 и 5 говорят  об одном и том же, выглядят они совершенно по-разному. Меняющаяся центральная линия на рис. 5 затрудняет интерпретацию этой карты. В этом и состоит главная причина редкого использования карт с неравными областями определений.

  Точно так же можно построить р-карту  для величин с равными областями определений, как это было сделано для числа отвергнутых деталей в таре (рис. 6). При беглом сравнении этой карты с nр-картой, показанной на рис.3, можно заметить, что они не отличаются друг от друга. Все отличия между ними заключаются в наименовании вертикальной оси. Одну и ту же ось можно разметить в процентах, долях или результатах подсчета. График хода процесса и контрольные пределы при этом не изменятся. 
 
 
 
 
 

 

Рис.5 np-Карта для данных о неполных инвойсах 
 
 

 

     Рис.6 р-Карта для данных о числе отвергнутых деталей 
 

 
 Чем отличаются р-карты и nр-карты от карт индивидуальных значений и скользящих размахов? Контрольные пределы, определяемые любым из этих методов, обычно довольно близки. Различия заключаются в способе их получения. Так, например, р-карты и nр-карты изначально ориентированы на биномиальные величины. По этой причине их преимущество основано на четкой связи среднего и стандартного отклонения биномиального распределения. Это позволяет определять контрольные пределы по всего лишь одной статистике — средней доле негодной продукции. Это делает вычисленные контрольные пределы менее чувствительными к внутривыборочной вариации. В результате р-карты и nр-карты становятся наиболее эффективными для анализа данных, распределенных по биномиальному закону.

   2.4. Проблемы с картами, построенными для биномиальных величин

   Выше  приведены четыре условия, при которых  для описания данных можно применить биномиальное распределение. Некоторые типы дискретных данных и некоторые данные, выраженные в процентах, этим условиям не удовлетворяют, и, следовательно, их нельзя анализировать при помощи р-карт и nр-карт.

   Заметим, что проценты, подсчитанные на базе непрерывных величин, а не дискретных, нельзя исследовать при помощи р-карт. Разумеется, проценты вполне могут описывать доли, однако области определения перестают быть дискретными. Поэтому наносить данные этого типа на р-карты не имеет смысла. Для их анализа больше подойдут карта индивидуальных значений и скользящих размахов или карта средних значений и размахов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

РИС. 7. Количественные характеристики, обычно выражаемые в процентах