Транспортные задачи

justify">    Условие a=b или a≠b означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Переменное xij означает количество груза, перевозимого с базы Ai потребителю Bj: совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

    Очевидно, переменные xij должны удовлетворять условиям: 

                 

    

    Система (2.1) содержит m+n уравнений с mn неизвестными. Её особенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равны единице. Кроме того, все уравнения системы (2.1) могут быть разделены на две группы: первая группа из т первых уравнений (“горизонтальные” уравнения) и вторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом из горизонтальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первым индексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуют один столбец матрицы перевозок). Таким образом, каждая неизвестная встречается в системе (2.1) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и только одном вертикальном уравнениях.

    Такая структура системы (2.1) позволяет  легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно  принять в качестве базиса. При  таком выборе базиса, по крайней  мере, один из двух их индексов равен  единице, а, следовательно, свободные неизвестные определяются условием        i ≥ 2, j≥ 2.Перепишем систему (2.1) в виде

    

    где символы  и означают суммирование по соответствующему индексу. Так, например,

    

    При этом легко заметить, что под символами  такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь i ≥ 2,j ≥ 2).

    В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а именно первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные x12,x13,…,x1n с помощью вертикальных уравнений, мы получаем уравнение

    

    или короче

                                                         (2.2)

    где символ означает сумму всех свободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнения базисные неизвестные x21,x31,…xm1 с помощью горизонтальных уравнений, мы получаем уравнение

                                               (2.2’)

    Так как для закрытой модели транспортной задачи a=b, то полученные нами уравнения (2.2) и (2.2’) одинаковы и, исключив из одного из них неизвестное x11, мы получим уравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

    Итак, преобразование системы (2.1) свелось  к замене двух уравнений (первого горизонтального и первого вертикального) уравнением (2.2). Остальные уравнения остаются неизменными. Система приняла вид

      
 

    В системе (2.3) выделен указанный выше базис: базисные неизвестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного x11 [она входит в первое уравнение системы (2.3)]. В системе (2.3) имеется m+n-1 уравнений, выделенный базис содержит m+n-1 неизвестных, а, следовательно, и ранг системы (2.1) r=m+n-1.

    Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы cij, т. е. стоимость перевозки единицы груза с базы Ai потребителю Bj.

    Совокупность  тарифов cij также образует матрицу, которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах и потребностях в одну таблицу: 
 

 

    Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных xij:

                                         (2.4)

    Требуется в области допустимых решений  системы уравнений (2.1) и (2.1.1) найти  решение, минимизирующее линейную функцию (2.4).

    Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного  программирования. Для ее решения  применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь  можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем  некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен m+n-1 то среди всех mn неизвестных xij выделяется m+n-1 базисных неизвестных, а остальные (m-1)*(n-1) неизвестных являются свободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем m+n-1 заполненных и (m-1)*(n-1) пустых клеток.

    Для контроля надо проверять, равна ли сумма  чисел в заполненных клетках каждой строки таблицы перевозок запасу груза на соответствующей базе, а в каждом столбце — потребности заказчика [этим подтверждается, что данный план является решением системы (2.1)].

    Замечание 1. Не исключаются здесь и вырожденные  случаи, т. е. возможность обращения  в нуль одной или нескольких базисных неизвестных. Но эти нули в отличие  от нулей свободных неизвестных вписываются в соответствующую клетку, и эта клетка считается заполненной.

    Замечание 2. Под величинами cij, очевидно, не обязательно подразумевать только тарифы. Можно также считать их величинами, пропорциональными тарифам, например, расстояниями от баз до потребителей. Если, например, xij выражены в тоннах, а cij в километрах, то величина S, определяемая формулой (2.4), является количеством тонно-километров, составляющих объем данного плана перевозок. Очевидно, что затраты на перевозки пропорциональны количеству тонно-километров и, следовательно, будут минимальными при минимуме S. В этом случае вместо матрицы тарифов мы имеем матрицу расстояний.

 

2. Методы составления начального опорного плана

Как и  в общем случае, решение транспортной задачи начинается с отыскания первого  опорного плана (исходного базиса). Мы рассмотрим два наиболее распространенных метода построения такого базиса. Суть обоих этих методов состоит в том, что базисный план составляется последовательно, в несколько шагов (точнее, m+n-1 шагов). На каждом из этих шагов заполняется одна клетка, притом так, что, либо полностью удовлетворяется один из заказчиков (тот, в столбце которого находится заполняемая клетка), либо полностью вывозится весь запас груза с одной из баз (с той, в строке которой находится заполняемая клетка).

    В первом случае мы можем исключить  столбец, содержащий заполненную на этом шаге клетку, и считать, что  задача свелась к заполнению таблицы  с числом столбцов, на единицу меньшим, чем было перед этим шагом, но с  тем же количеством строк и  с соответственно измененным запасом груза на одной из баз (на той базе, которой был удовлетворен заказчик на данном шаге).

    Во  втором случае исключается строка, содержащая заполняемую клетку, и  считается, что таблица сузилась на одну строку при неизменном количестве столбцов и при соответствующем изменении потребности заказчика, в столбце которого находится заполняемая клетка.

    Начиная с первоначально данной таблицы  и повторив m+n-2 раз описанный шаг, мы придем к “таблице”, состоящей из одной строки и одного столбца (иначе говоря, из одной пустой клетки). Другими словами, мы пришли к задаче с одной базой и с одним потребителем, причем потребности этого единственного заказчика равны запасу груза на этой единственной базе. Заполнив последнюю клетку, мы освобождаем последнюю базу и удовлетворяем потребность последнего заказчика. В результате, совершив m+n-1 шагов, мы и получим искомый опорный план.

    Замечание. Может случиться, что уже на некотором (но не на последнем!) шаге потребность  очередного заказчика окажется равной запасу груза на очередной базе. Тогда после заполнения очередной клетки объем таблицы как бы одновременно уменьшается на одни столбец и на одну строку. Но и при этом мы должны считать, что уменьшение объема таблицы происходит либо на один столбец, а на базе сохраняется “остаток” равный нулю, либо на одну строку, а у заказчика еще осталась неудовлетворенная “потребность” в количестве нуля единиц груза, которая и удовлетворяется на одном из следующих шагов. Этот нуль (“запас” или “потребностью” – безразлично) надо записать в очередную заполняемую клетку на одном из последующих шагов. Так как при этом оказывается равной нулю одна из базисных неизвестных, то мы имеем дело с вырожденным случаем. Различие методов отыскания первого опорного плана состоит в различии способов набора заполняемой клетки.

 

     3 Методы решения  транспортной задачи

    3.1 Диагональный метод, или метод северо-западного угла

    При этом методе на каждом шаге построения первого опорного плана заполняется  левая верхняя клетка (северо-западный угол) оставшейся части таблицы. При таком методе заполнение таблицы начинается с клетки неизвестного x11 и заканчивается в клетке неизвестного xmn, т. е. идет как бы по диагонали таблицы перевозок.

    Пример.