Статистическое изучение связи между явлениями, область применения

 

     В основу группировки положены два  изучаемых во взаимосвязи признака – Х и У. Частоты f_ij показывают количество соответствующих сочетаний Х и У. Если f_ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f_ij допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если f_ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

     Наглядным изображением корреляционной таблице служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

     В итогах корреляционной таблицы по строкам  и столбцам приводятся два распределения  – одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х_i среднее значение У, т.е. , как

     

     Последовательность  точек (X_i, ) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.

     По  существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.

     Практически для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции. Иногда его называют просто коэффициентом корреляции. Если заданы значения переменных Х и У, то он вычисляется по формуле

     

     Можно использовать и другие формулы, но результат должен быть одинаковым для всех вариантов расчета.

     Коэффициент корреляции принимает значения в  интервале от -1 до + 1. Принято считать, что если  |r| < 0,30, то связь слабая; при  |r| = (0,3÷0,7) – средняя; при  |r| > 0,70 – сильная, или тесная. Когда  |r| = 1 – связь функциональная. Если же r принимает значение около 0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и X. Однако в этом случае возможно нелинейное взаимодействие. что требует дополнительной проверки и других измерителей, рассматриваемых ниже.

     Для характеристики влияния изменений  Х на вариацию У служат методы регрессионного анализа. В случае парной линейной зависимости  строится регрессионная модель¹³

     

     где n – число наблюдений;

     а₀, а₁ – неизвестные параметры уравнения;

     e_i – ошибка случайной переменной У.

     Уравнение регрессии записывается как 

     

     где У_iтеор – рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановки в уравнение X.

     Параметры а₀ и а₁ оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение из которых получил метод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки ag и а, получают, когда

     

     т.е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от вычисленных по уравнению регрессии должна быть минимальной. Сумма квадратов отклонений является функцией параметров а₀ и а₁. Ее минимизация осуществляется решением системы уравнений

     

     Можно воспользоваться и другими формулами, вытекающими из метода наименьших квадратов, например:

     

     Аппарат линейной регрессии достаточно хорошо разработан и, как правило, имеется  в наборе стандартных программ оценки взаимосвязи для ЭВМ. Важен смысл  параметров: а₁ – это коэффициент регрессии, характеризующий влияние, которое оказывает изменение Х на У. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится У при изменении Х на одну единицу. Если а, больше 0. то наблюдается положительная связь. Если а имеет отрицательное значение, то увеличение Х на единицу влечет за собой уменьшение У в среднем на а₁. Параметр а₁ обладает размерностью отношения У к X.

     Параметр a₀ – это постоянная величина в уравнении регрессии. На наш взгляд, экономического смысла он не имеет, но в ряде случаев его интерпретируют как начальное значение У.

     Например, по данным о стоимости оборудования Х и производительности труда У методом наименьших квадратов получено уравнение ¹⁴

     У = -12,14 + 2,08Х.

     Коэффициент а, означает, что увеличение стоимости  оборудования на 1 млн руб. ведет  в среднем к росту производительности труда на 2.08 тыс. руб.

     Значение  функции У = a₀ + а₁Х называется расчетным значением и на графике образует теоретическую линию регрессии.

     Смысл теоретической регрессии в том, что это оценка среднего значения переменной У для заданного значения X.

     Парная корреляция или парная регрессия могут рассматриваться как частный случай отражения связи некоторой зависимой переменной, с одной стороны, и одной из множества независимых переменных – с другой. Когда же требуется охарактеризовать связь всего указанного множества независимых переменных с результативным признаком, говорят о множественной корреляции или множественной регрессии.¹⁵

     Получив оценки корреляции и регрессии, необходимо проверить их на соответствие истинным параметрам взаимосвязи.

     Существующие  программы для ЭВМ включают, как правило, несколько наиболее распространенных критериев. Для оценки значимости коэффициента парной корреляции рассчитывают стандартную ошибку коэффициента корреляции:

     

     В первом приближении нужно, чтобы  . Значимость r_xy проверяется его сопоставлением с , при этом получают

     

     где t_расч – так называемое расчетное значение t-критерия.

     Если t_расч больше теоретического (табличного) значения критерия Стьюдента (t_табл) для заданного уровня вероятности и (n-2) степеней свободы, то можно утверждать, что r_xy значимо.

     Подобным  же образом на основе соответствующих  формул рассчитывают стандартные ошибки параметров уравнения регрессии, а  затем и t-критерии для каждого  параметра. Важно опять-таки проверить, чтобы соблюдалось условие t_расч > t_табл. В противном случае доверять полученной оценке параметра нет оснований.

     Вывод о правильности выбора вида взаимосвязи  и характеристику значимости всего  уравнения регрессии получают с  помощью F-критерия, вычисляя его расчетное  значение:

     

     Где

     n – число наблюдений;

     m – число параметров уравнения  регрессии. 

     F_расч также должно быть больше F_теор при v₁ = (m-1) и v₂ = (n-m) степенях свободы. В противном случае следует пересмотреть форму уравнения, перечень переменных и т.д.

     Методы  корреляционного и дисперсионного анализа не универсальны: их можно применять, если все изучаемые признаки являются количественными. При использовании этих методов нельзя обойтись без вычисления основных параметров распределения (средних величин, дисперсий), поэтому они получили название параметрических методов.¹⁶

     Между тем в статистической практике приходится сталкиваться с задачами измерения  связи между качественными признаками, к которым параметрические методы анализа в их обычном виде неприменимы. Статистической наукой разработаны  методы, с помощью которых можно измерить связь между явлениями, не используя при этом количественные значения признака, а значит, и параметры распределения. Такие методы получили название непараметрических.

     Если  изучается взаимосвязь двух качественных признаков, то используют комбинационное распределение единиц совокупности в форме так называемых таблиц взаимной сопряженности.

     Рассмотрим  методику анализа таблиц взаимной сопряженности  на конкретном примере социальной мобильности  как процесса преодоления замкнутости отдельных социальных и профессиональных групп населения. Ниже приведены данные о распределении выпускников средних школ по сферам занятости с выделением аналогичных общественных групп их родителей.¹⁷

 
 

     Распределение частот по строкам и столбцам таблицы  взаимной сопряженности позволяет  выявить основные закономерности социальной мобильности: 42,9 % детей родителей  группы 1 («Промышленность и строительство») заняты в сфере интеллектуального труда (39 из 91); 38,9 % детей. родители которых трудятся в сельском хозяйстве, работают в промышленности (34 из 88) и т.д.

     Можно заметить и явную наследственность в передаче профессий. Так, из пришедших  в сельское хозяйство 29 человек, или 64,4 %, являются детьми работников сельского хозяйства; более чем у 50 % в сфере интеллектуального труда родители относятся к той же социальной группе и т.д.

     Однако  важно получить обобщающий показатель, характеризующий тесноту связи  между признаками и позволяющий сравнить проявление связи в разных совокупностях. Для этой цели исчисляют, например, коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (С) и Чупрова (К):

     

     где f² – показатель средней квадратической сопряженности, определяемый путем вычитания единицы из суммы отношений квадратов частот каждой клетки корреляционной таблицы к произведению частот соответствующего столбца и строки:

     

     К₁ и К₂ – число групп по каждому из признаков. Величина коэффициента взаимной сопряженности, отражающая тесноту связи между качественными признаками, колеблется в обычных для этих показателей пределах от 0 до 1.¹⁸

     В социально-экономических исследованиях  нередко встречаются ситуации, когда  признак не выражается количественно, однако единицы совокупности можно  упорядочить. Такое упорядочение единиц совокупности по значению признака называется ранжированием. Примерами могут быть ранжирование студентов (учеников) по способностям, любой совокупности людей по уровню образования, профессии, по способности к творчеству и т.д.

     При ранжировании каждой единице совокупности присваивается ранг, т.е. порядковый номер. При совпадении значения признака у различных единиц им присваивается объединенный средний порядковый номер. Например, если у 5-й и 6-й единиц совокупности значения признаков одинаковы, обе получат ранг, равный (5 + 6) / 2 = 5,5.

     Измерение связи между ранжированными признаками производится с помощью ранговых коэффициентов корреляции Спирмена (r) и Кендэлла (t). Эти методы применимы не только для качественных, но и для количественных показателей, особенно при малом объеме совокупности, так как непараметрические методы ранговой корреляции не связаны ни с какими ограничениями относительно характера распределения признака.