Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО  « Уральский государственный  технический университет-УПИ имени  первого Президента России Б.Н. Ельцина» 

Кафедра теоретических основ радиотехники 
 
 
 
 
 
 

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ

Реферат

по дисциплине «Вероятностные модели» 
 
 
 
 
 
 

                                                                                  Группа: Р-37072

                                                                                  Студентка: Решетникова Н.Е.

                                                                                  Преподаватель: Трухин М.П. 
 
 

      Екатеринбург, 2009 год

 

Содержание

 

История появления

   12 ноября 1842 г. в Лэнгфорд-Грове (графство  Эссекс) родился лорд Джон Уильям Рэлей (John William Rayleigh), английский физик, нобелевский лауреат. Получил домашнее образование. Окончил Тринити-колледж Кембриджского университета, работал там же до 1871 г. В 1873 г. создал лабораторию в родовом имении Терлин-Плейс. В 1879 г. стал профессором экспериментальной физики Кембриджского университета, в 1884 г. – секретарем Лондонского королевского общества. В 1887-1905 гг. – профессор Королевской ассоциации, с 1905 г. – президент Лондонского королевского общества, с 1908 г. – президент Кембриджского университета.

   Будучи  всесторонне эрудированным естествоиспытателем, он отметился во многих отраслях науки: теория колебаний, оптика, акустика, теория теплового излучения, молекулярная физика, гидродинамика, электричество  и другие области физики. Исследуя акустические колебания (колебания струн, стержней, пластинок и др.), он сформулировал ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний (1873), позволяющих делать качественные заключения о собственных частотах колебательных систем, и разработал количественный метод возмущений для нахождения собственных частот колебательной системы. Рэлей впервые указал на специфичность нелинейных систем, способных совершать незатухающие колебания без периодического воздействия извне, и на особый характер этих колебаний, которые впоследствии были названы автоколебаниями.

   Он  объяснил различие групповой и фазовой  скоростей и получил формулу  для групповой скорости (формула  Рэлея).

   Распределение же Рэлея появилось в 1880 году вследствие рассмотрения задачи сложения множества колебаний со случайными фазами, в которой он получил функцию распределения для результирующей амплитуды. Метод, разработанный при этом Рэлеем, надолго определил дальнейшее развитие теории случайных процессов.

 

Функция плотности вероятности

Вид функции  распределения:

,

σ- параметр. 

В зависимости  от σ график функции распределения  выглядит так: 

1. σ=1

 

2. σ<1 (σ=1/4)

 

3. σ>1(σ=3)

 

 
 

Таким образом, в зависимости от параметра  σ  меняется не только амплитуда, но и  дисперсия распределения. С уменьшением  σ амплитуда растет и график «сужается», а с увеличением σ увеличивается  разброс и уменьшается амплитуда. 
 
 

 

Интегральная  функция распределения

 

Интегральная  функция распределения, по определению  равная интегралу от плотности вероятности  равна:

 

График интегральной функции распределения при различных  параметрах σ:

В зависимости  от σ график функции распределения  выглядит так: 

1. σ=1

 

2. σ<1

 
 

3. σ>1

 

 

Таким образом, при изменении параметра σ происходит изменение графика. При уменьшении σ график становится более крутым, а при увеличении σ более пологим: 

 

Центральные и абсолютные моменты

      Законы  распределения полностью описывают  случайную величину  X  с вероятностной точки зрения (содержат полную информацию о случайной величине). На практике часто нет необходимости в таком полном описании, достаточно указать значения отдельных параметров (числовых характеристик), определяющих те или иные свойства распределения вероятностей случайной величины.

      Среди числовых характеристик математическое ожидание играет наиболее существенную роль и рассматривается как результат применения операции усреднения к случайной величине  Х,  обозначаемой как .

      Начальным моментом  s – го порядка случайной величины  X называется математическое ожидание  s – й степени этой величины:

. 

Для непрерывной  случайной величины:

Математическое  ожидание для величины, распределенной по закону Рэлея равно:

Значение математического  ожидания для разных значений параметра  σ:

1. σ=1

mx=1.253

2. σ=1/4

mx=0.313

3. σ=3

mx=3.76

Центрированной  случайной величиной X называется её отклонение от математического ожидания  .

      Центральным моментом s – ого порядка случайной величины  X  называется математическое ожидание  s – й степени центрированной величины  :

. 

Для непрерывной  случайной величины

. 

Второй  центральный момент. Дисперсия есть характеристика рассеяния случайной величины около ее математического ожидания

 

Для случайной  величины, распределенной по закону Рэлея  дисперсия(второй центральный момент), равна:

1. σ=1

Dx=0.429

2. σ=1/4

Dx=0.027

3. σ=3

Dx= 3.863

 

Характеристическая  функция

Характеристической  функцией случайной величины Х называется функция 

- эта функция представляет  собой математическое ожидание  от некоторой комплексной случайной величины , являющейся функцией от случайной величины Х. При решении многих задач удобнее пользоваться характеристической функцией, а не законом распределения.

Зная закон  распределения можно найти характеристическую  функцию по формуле:

. Как видим, данная формула представляет собой не что иное, как  обратное преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью прямого преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.

Характеристическая  функция для случайной величины, распределенной по закону Рэлея:

,

где  - интеграл вероятности комплексного аргумента.

 

Кумулянты( семиинварианты)

     Функция  называется кумулянтной функцией случайной величины Х. Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и . Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик.

     При этом число  называется кумулянтом порядка случайной величины Х .

 

Область применения

Распределение Рэлея применяется для описания большого числа задач, например:

• Задача сложения колебаний со случайными фазами;
• Распределение энергии излучения абсолютно черного  тела;
• Для описания законов надежности;
• Для описания некоторых радиотехнических сигналов;
• Закону распределения Релея подчиняются амплитудные значения шумовых  колебаний (помех) в радиоприемнике;
• Используется для описания случайной огибающей узкополосного случайного процесса(шума).

 

Список использованной литературы

1. Р.Н. Вадзинский «Справочник по вероятностным распределениям», С.-П. «Наука», 2001 год.
2. Г.А. Самусевич, учебное пособие «Теория вероятностей и математическая статистика», УГТУ-УПИ, 2007 год.