Построение и графическое изображение вариационных рядов

     

     Коэффициент осцилляции – отношение размаха вариации к средней арифметической:

     

.

     Относительное линейное отклонение – отношение среднего линейного отклонения к средней:

     

. 

     Коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения  к средней:

    

. 

       2.3. Показатели формы распределения. 

       В статистике широко известны  различные виды распределений  - нормальное распределение, биноминальное,  распределение Пуассона и др. Наиболее употребительным является нормальное распределение, выражающее закономерности взаимодействия случайных величин. Оно служит удачной моделью, с которой сравнивают анализируемое эмпирическое распределение. Если расхождения не велики, то их объясняют действием случайных факторов и считают данное распределение близким к нормальному. В противном случае делают вывод о несоответствии рассматриваемого распределения нормальному.

      Чтобы определить, насколько близко эмпирическое распределение к нормальному, необходимо произвести выравнивание фактического распределения по кривой нормального распределения. С этой целью рассчитываются теоретические частоты по формуле:

     

,

     где – теоретические частоты; - фактические частоты; - шаг (величина интервала); - нормированные отклонения;   - дифференциальная функция Лапласа (значения даны в приложении 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.5. Проверка гипотезы о законе нормального распределения. 

     Для объективной оценки степени соответствия эмпирического распределения теоретическому используется ряд особых показателей, называемых критериями согласия. На их базе проверяется гипотеза о законе нормального распределения. Это критерии Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Мы рассмотрим критерий Пирсона.

     Критерий  Пирсона  определяется по формуле:

     

     Рассчитанное  значение сравнивается с табличным  при соответствующем числе степени  свободы и заданном уровне значимости. Если расчетное значение  χ² меньше табличного, то делается вывод о несущественности расхождений между эмпирическим и теоретическим распределении (т.е. нулевая гипотеза о том, что распределение подчиняется закону нормального распределения, принимается).

     Рассматриваемые критерии согласия дают общую оценку степени близости эмпирического  распределения к нормальному, но не дают информации о характере расхождения  между ними. Для определения характера  расхождения между эмпирическими  и теоретическими частотами определим показатели формы распределения. Это коэффициент асимметрии и эксцесса.

     Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле:

     

     При симметрическом распределении К_А= 0. При К_А> 0 - наблюдается положительная или правосторонняя асимметрия (правая часть кривой длиннее).

     Примечание. Коэффициент асимметрии находится  в интервале:

     -3 < К_А < 3.

     Островершинность  распределения характеризуется  при помощи коэффициента эксцесса:

     

     где m₄ -  центральный момент четвёртого порядка;

     При E_x > 0 кривая распределения – плосковершинна, при E_x  <= 0 – островершинна.

 

      2.7. Статистические  оценки параметров  распределения.

     Изучаемую совокупность можно считать выборкой из генеральной совокупности. По данным выборки производится оценка параметров генеральной совокупности.

     Статистической  оценкой называется специальная  функция, вычисляемая на основании  выборочных данных для приближенной замены неизвестного параметра распределения  или самого распределения. Различают оценки смещённые и несмещённые, точечные и интервальные.

     Возможное расхождение между выборочными  и генеральными характеристиками составляет ошибку выборки. 

     Стандартная ошибка выборочной средней определяется по формуле:

     

        Ошибка среднего  квадратического  отклонения                               

     

     Ошибка  коэффициента вариации

     

     

 

     Точечной, несмещённой и состоятельной  оценкой генеральной средней  является выборочная средняя  

     Для определения интервальной оценки необходимо найти доверительный интервал   , ,

       где   - предельная ошибка выборочной средней;

      - коэффициент доверия, который   определяют по таблице распределения  Стьюдента по заданным    и   при малой выборке при n <= 30 (приложение 3).

      Достоверность любого параметра оценивается по критерию достоверности t, определяемого как отношение оцениваемого параметра к ошибке. Если t_факт  > t_кр, определяемого по таблице распределения Стьюдента, то данный параметр достоверен.

      Достоверность выборочной средней:

      

     Достоверность среднего квадратического отклонения и коэффициент вариации:

     

   и     

     Определяется  по формуле:

     

     Если  данная величина меньше 5%, то полученные средние можно использовать в  последующих расчётах характеристик изучаемой совокупности.  

 

Вывод: 

Характер  расхождения между эмпирическими  и теоретическими частотами:

• Коэффициент асимметрии К_А> 0 для параметра У, следовательно у него наблюдается положительная или правосторонняя асимметрия (правая часть кривой длиннее), для параметра Х К_А>0, следовательно у него наблюдается отрицательная или левосторонняя ассиметрия.
• Коэффициент эксцесса E_x > 0 для Х и У, значит кривая распределения – плосковершинная.

Стандартная ошибка выборки максимально возможные  расхождения между генеральными и выборочными характеристиками. 0,0343 для параметра Х и 3,2168 – для У.

Относительная ошибка выборки для параметров Х и У меньше 5 %, значит полученные средние можно использовать для характеристики каждого из этих признаков.

 

Глава 3. Корреляционно  – регрессионный  анализ.

3.1. Выбор типа аппроксимирующей  функции 

     В экономических исследования редко  приходится иметь дело с точными  и определенными функциональными  связями, когда каждому значению одной величины соответствует строго определённое значение другой величины. Чаще встречаются стохастические (вероятностные) или корреляционные связи. В следующем разделе работы с помощью программы Excel проводится исследование корреляционной связи.

      При изучении корреляционных  связей возникает необходимость решить  две основные задачи – о тесноте и о форме связи. Первая решается  методом корреляции, вторая – методом регрессии и дисперсии. По форме корреляционная связь может быть линейной и нелинейной, по направлению – прямой и обратной.

     Для анализа линейной корреляции между  признаками Х и Y проводят n независимых парных наблюдений , исходом   каждого из  которых является  пара  чисел      ( X₁,Y₁), ( X₂,Y₂),… ( X _n,Y_n). По этим значениям определяют выборочные  эмпирические коэффициенты корреляции и регрессии, рассчитывают уравнение регрессии, строят теоретическую линию регрессии и оценивают значимость полученных результатов.

     В MS Excel линия уравнения регрессии называется линией тренда, которая показывает тенденцию изменения данных и служит для составления прогнозов. Для создания линии тренда на основе диаграммы используется один из пяти типов аппроксимаций или линейная фильтрация.

     

     Тип                                         Описание

     

     Линейная y = m*x+ b

                                                где m – тангенс угла наклона,

                                                b – точка пересечения с осью ординат

     Логарифмическая                y = c*ln(х) + b

                                                где  c и b – константы

     Полиномиальная                 y = c₆ x⁶ +…+ c₁x+b

                                                где c₆,… c₁ и b – константы

     Степенная                             y = c*x^b

                                                где  c и b – константы

     Экспоненциальная               y = c*e^bx

                                                где  c и b – константы

     На  диаграмме можно выделить любой  ряд данных и добавить к нему линию  тренда. Когда линия тренда добавляется  к ряду данных, она связывается  с ним, и поэтому при изменении  значений любых точек ряда данных линия тренда автоматически пересчитывается и обновляется на диаграмме.

     Кроме того, имеется возможность выбирать точку, в которой линия тренда пересекает ось ординат, добавлять  к диаграмме уравнение регрессии  и величину достоверности аппроксимации. Покажем построение линии тренда на нашем демонстрационном примере на основе исходных данных: время уборки и урожайность. Данный анализ проводится на основе диаграммы  для пяти типов аппроксимаций,  и выбираем ту линию тренда, для которой величина достоверности аппроксимации наибольшая, т.е. у которой самый наибольший коэффициент корреляции.

       Квадрат коэффициента корреляции равен 0,8572. Уравнение данной зависимости имеет вид:

     У_х = 58,964х²-88,707х+112,8

     Для оценки степени пригодности полученного  корреляционного  уравнения в практических  целях необходимо проверить его достоверность.

     Рассчитываем  ошибку уравнения по формуле: 

 

     где Y_i - фактическое значение результативного признака, в демонстрационном примере – это Уфакт.;       Y_х  - значения результативного признака,  рассчитанные по уравнению регрессии, в демонстрационном примере – это Урасчетн.; n –число наблюдений, m- число параметров уравнения регрессии.