Контрольная работа по "Статистике"

Задание 2

 

Дано: Имеются данные статистического наблюдения о средних затратах ряда предприятий города на капитальный ремонт оборудования (у_i^ф – тыс. руб.) в зависимости от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (х_i^ф – лет). Данные наблюдения приведены в Приложении в таблице 1. (графы 2 и 3).

Необходимо: 1) Разработать (синтезировать) и построить с обоснованием практической значимости адекватную математическую модель массового экономического процесса в хозяйственной деятельности предприятий – зависимость затрат предприятия на ремонт производственного оборудования (у_i) и его срока службы (х_i).

 

2) Для построения и  обоснования математической модели  использовать корреляционно-регрессионный  анализ исследуемой зависимости  и метод наименьших квадратов  (МНК).

 

3) Построить линейный  график корреляционной зависимости  типа y=f(x) в виде ломаной линии (по фактическим данным х_i^ф и у_i^ф) и ее теоретического аналога (модели) – прямой линии (Рис. 1).

 

4) Аналитически и графически  определить время начала необходимости  капитального ремонта оборудования (значение х_{нач. рем.} при у_х=0).

 

5) Методами интерполяции (и) и экстраполяции (э), с целью  нормирования и планирования  затрат предприятия на ремонт  оборудования (х_и^т и у_э^т), дать прогноз затрат по заданному времени эксплуатации оборудования в области фактической (известной) статистики (данные наблюдения), например, при х_и=6,5 лет и вне этой области – при х_э=12 лет.

 

6) Построить макет сложной  аналитической таблицы 1 и внести  в нее фактические данные статистического  наблюдения – х_i^ф и у_i^ф (графы 2 и 3).

 

7) Построить линейный  график (Рис. 1) корреляционной зависимости  (связи) х_i^ф и у_i^ф вида y=f(x)+ ξ (1), где ξ – величина влияния на у_х суммы случайных факторов. Нанести на график (используя шкалы осей координат у и х и «сетку графика») соответствующие координатам х_i^ф и у_i^ф и соединить их прямыми линиями в непересекающуюся ломаную линию (у_х^ф).

 

8) По характеру построенной  ломаной линии определить предполагаемую  теоретическую линию аппроксимации  (выравнивания ломаной); в данной  задаче – принимаем прямую  линию и ее аналитическое   выражение у_х = а₀ + а₁х (2). Преобразовать (синтезировать) уравнение прямой (2) в теоретическую зависимость затрат на ремонт оборудования от его срока службы подставив в (2) фактические значения х_i^ф : у_i^т = а₀ + а₁х_i^ф     (3).

 

Решение: Уравнение (3) есть уравнение регрессии , т.е. синтезированная математическая модель исследуемого экономического массового процесса – зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования от его срока эксплуатации, параметры которого определяются по формулам (4) (см лекцию …):

 

;      (4).

 

Параметры a₀ и а₁ можно определить также и путем подстановки соответствующих сумм в уравнение (4) по данным таблицы 1.

 

2) Рассчитаем  a₀ и а₁ по уравнениям (4). По уравнению регрессии (3) определим теоретические значения затрат на ремонт оборудования (у^т) и другие показатели таблицы 1 и внесем результаты расчетов в соответствующие графы таблицы 1.  По данным таблицы 1: x_ср = Σх_i / n = 70 / 10 = 7 лет;

 

  ; ; ; ;

 

; ;  Σ (у_i^т - у_i^ф)² = 100.

 

3) Подставим рассчитанные  суммы из таблицы 1 в уравнения  системы (4): 

 

(1420 / 540 = 2,629)

 

Принимаем: а₀=-6,51; а₁=2,63:  у_1,2^т= а₀ + а₁х₁^ф= -6,51+2,63*4= 4,01 тыс. руб., т.д.

у₁₀^т= а₀ + а₁х₁₀^ф= -6,51+2,63*11=22,42 тыс. руб.

 

4) В поле графика (рис.1) построим теоретическую прямую  линию исследуемой зависимости  у_i^т (3) по координатам у_i^т х_i^ф.

5) По t_кр – критерию Стьюдента необходимо обосновать практическую значимость синтезированной по уравнению прямой (2) регрессионной модели (3) и ее параметров а₀=-6,51 (без учета знака); а₁=2,63 с учетом условия t_a0 > t_кр < t_a (5). По вероятностной таблице для коэффициента значимости α =0,05 и количества степеней свободы к_св = n – 2 = 10 – 2 = 8  t_кр=2,3 (с вероятностью P_t=0,95). Фактические значения t-критерия определить по формулам:

 

(6);   (7)

 

; .

 

Вывод: условие типичности выполняется:   t_a0=5.83>t_кр=2.3<t_a1=5.46. 

Следовательно, уравнение  регрессии (3) и его параметры a₀ и a₁ являются (признаются) типичными, т. к. с достаточной степенью вероятности (P=0.95) определяют корреляционную зависимость затрат предприятия на ремонт оборудования у_i^T от его срока службы х_i^ф.

6) Для определения показателя  тесноты и характеристики силы  корреляционной связи между у_i^Т и х_i^ф определить коэффициент корреляции (r) и коэффициент детерминации (r²) для прямолинейной зависимости:

(8)

Соответственно:           (9)

7) Оценить значимость  вычисленного коэффициента корреляции  r=0.88 по t-критерию Стьюдента   при условии t_r>t_кр=2.3 и по шкале Чеддока (табл.2). Фактическое значение t-критерия r: (10)

Следовательно, условие значимости r выполняется: t_r=5,24>t_кр=2.3

 

8) По шкале Чеддока коэффициент корреляции r=0.88 определяет корреляционную связь между у_i^Т и х_i^ф как «высокую».

 

Вывод: величина r=0.88 является существенной, а связь между у_i^Т и х_i^ф - «высокой». На основании коэффициент детерминации r²=0,774 с высоким уровнем доверительной вероятности (Р = 0.95) можно утверждать, что 77,4% общей вариации результативного признака у_i (затрат на ремонт оборудования) объясняется (детерминировано) изменением факторного признака х_i (срока службы оборудования). При этом 22,6% общей вариации (100% - 77,4%) у_i вызвано влиянием суммы случайных факторов, т.е. ξ = 22,6% [ у_i = f(x) + ξ)].

9) Следовательно, синтезированная  по уравнению прямой линии  математическая модель(3) - у^т_i = - 6,51+2,63 х^ф является типичной и может быть использована для практических целей прогнозирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудований (у_i) в зависимости от его срока службы (х_i).

10) Теоретически и графически  определим время начала необходимости  капитального ремонта оборудования (х_{нач. рем.}) по уравнению (3) при у_x=0:

   , откуда   года.

11) Определим по уравнению  регрессии (3) методами интерполяции (И) и экстраполяции (Э) прогноз  затрат предприятия на ремонт  оборудования при х_и=6,5 лет и х_э=12 лет:

  у_и = а₀ + а₁х_и = -6,51 + 2,63 * 6,5 = 10,59 тыс. руб.,

  у_э = а₀ + а₁х_э = -6,51 + 2,63 * 12 = 25,05 тыс. руб.

Нанесем на график (рис 1) пунктирными  линиями вычисленные координаты у_и^т х_и и у_э^т х_э..

 

        Таблица 1. 8. Данные для расчета  показателей уравнения регрессии.

 

№ п/п	хiф	уiФ	xiּ*yi	xi2	yi2	÷xi- ÷	(xi - )2	уiт	÷уiт- уiФ÷	(уiт- уiФ)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	4	6,16	24,64	16	37,9456	(-)3	9	4.01	2,15	4,6
2	4	3,16	12,64	16	9,9856	3	9	4.01	0,85	0,7
3	5	9,16	45,8	25	83,9056	2	4	6.64	2,52	6,3
4	6	8,16	48,96	36	66,5856	1	1	9.27	1,11	1,2
5	6	10,16	60,96	36	103,2256	1	1	9.27	0,89	0,7
6	7	12,16	85,12	49	147,8656	0	0	11.90	0,26	0,06
7	8	13,16	105,28	64	173,1856	1	1	14.53	1,37	1,8
8	9	11,16	100,44	81	124,5456	2	4	17.16	6	36
9	10	18,16	181,6	100	329,7856	3	9	19.79	1,63	2,6
10	11	29,16	320,76	121	850,3056	4	16	22.42	6,74	45,42
Σ :	70	120,6	986,2	544	1927,336	-	54	-	-	99,74

 

  Примечание: x_i-годы (лет); y_i-тыс. руб. Принимаем: Σ (у_i^т-у_i^Ф)²≈100.

   ( К_в = (6 + 10)/ 100; прибавить К_в ко всем у_i^Ф)

 

Рис 1.4. График зависимости  y = F(x) + ξ (масштаб шкал OX : OY = 1:2).

 

 

По шкале Чеддока (Таблица 1.9) коэффициент корреляции r=0.88 определяет корреляционную связь между у_i^Т и х_i^ф как «высокую».

 

Таблица 1.9.. Шкала  Чеддока

 

Теснота связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	Весьма высокая

 

 

Общие выводы:

 

График(Рис.1.4)  – теоретическая прямая линия  у_i^т = а₀ + а₁х_i^ф  (3), выражает форму корреляционно-регрессионной зависимости экономического массового процесса  - зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования (у_i^Т) от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (х_i^ф ). Уравнение (3) является также математической моделью указанного экономического массового процесса и уравнением регрессии корреляционной зависимости между у_i^Т и х_i^ф , построенного (синтезированного) на основе использования метода наименьших квадратов (МНК) для определения параметров регрессии а₀ и а₁ .

Синтезированное уравнение регрессии (3) может быть использовано для моделирования и прогнозирования (планирования) затрат предприятия (у_i^Т) на ремонт эксплуатируемого основного оборудования в зависимости от срока его эксплуатации (х_i^ф ) как в пределах известных статистических данных (х_i^ф от 4-х до 11-ти лет, собранных и зарегистрированных в результате научно организованного статистического наблюдения) методом интерполяции (уравнение у_и = а₀ + а₁х_и ) и так и за пределами известных данных статистики (х_i^ф более 11 лет, в предположении сохранения прямолинейной зависимости у_i^Т) методом экстраполяции (уравнение у_э = а₀ + а₁х_э ).