Интерполяция и экстраполяция рядов в динамике

Интерполяция  и экстраполяция  рядов в динамике

Особенности прогнозирования

при исследовании динамических рядов 

При комплексном  исследовании динамических рядов в  большинстве случаев ставится задача, касающаяся дальнейшего прогнозирования их уровней. Экстраполяцией называется прогнози-рование финансовых и экономических явлений и процессов на основе выявленных закономерностей их развития в прошлом и настоящем периодах, представленных данным динамическим рядом. Экстраполяция всегда проводится за пределы исследуемого временного ряда: в будущее или в прошлое. В зависимости от этого различают перспективную экстраполяцию (в будущее) и ретроспективную (в прошлое). Вместе с этим может осуществляться и интерполяция - прогнозирование неизвестных по каким-либо причинам уровней внутри самого исследуемого ряда динамики.

  Точность  и надежность прогнозов, получаемых при экстраполяции, зависят от того, насколько инерционно то финансовое или экономическое явление, которое подвергается прогнозированию, насколько точно выявлена тенденция развития явления и выбран метод получения дальнейшего прогноза. Не последнюю роль при этом играет и период экстраполяции: чем он короче, тем, естественно, точнее прогноз.

   С этими  требованиями тесным образом связана  задача выбора длины динамического ряда, на основе которого будет проводиться экстраполяция. Правило «чем больше, тем лучше» в данном случае не всегда верное. Дело в том, что в быстро развивающемся мире экономики и финансов длинные динамические ряды зачастую оказываются несопоставимыми. Из-за того, что меняются методология расчета показателей, тенденции и сущность социально-экономических явлений и процессов, полученные прогностические модели оказываются неустойчивыми.

   Вместе  с тем имеется общее правило: срок, на который осуществляется прогноз, не должен превышать 1/3 длины базового динамического ряда. Так, если исследуется ряд динамики, состоящий из девяти уровней, прогнозирование проводится не далее чем на три уровня и т.п. Но этот вопрос опять должен решаться на основе анализа степени инерционности исследуемого явления. Если процесс имеет малую инерционность, то информативность уровней ряда по мере их удаления от периода прогнозирования будет соответственно снижаться: наибольшую информационную ценность будут иметь «последние» периоды. На этом основаны так называемые адаптивные методы прогнозирования, которые учитывают различную информационную ценность членов ряда. При проведении процедуры выравнивания им задается опреде-

ленный вес, кроме  того, могут меняться параметры моделей  в зависимости от точности результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге'.

  В данной главе мы рассмотрим более простые  методы экстраполяции, основанные на использовании: среднего уровня ряда; среднего абсолютного прироста; среднего темпа роста и функции аналитического выравнивания.

  Первые  три метода являются простейшими  и поэтому самыми приближенными. Экстраполяция на основе функции тренда, полученной в результате аналитического выравнивания, относится к наиболее распространенным и практически применяемым методам прогнозирования. 
 

В статистике бывают случаи, когда в ряду динамики не достает данных за какой-

либо  промежуток времени или нужно  определить уровень явления на будущее, т.е.

уходя за пределы данного ряда. 

Интерполяция – нахождение неизвестного промежуточного члена ряда динамики.

Наиболее  простым примером расчета интерполяции является следующий расчет: из

двух  членов ряда динамики непосредственно примыкающих к неизвестному члену

ряда  находится средняя величина, которая  принимается за исходный показатель.

Иногда  для большей достоверности расчетов берут не один, а два или более

промежуточных уровней, и находят из средней. 

Экстраполяция – нахождение члена ряда динамики в перспективе (на будущее).

Широко  применяется экстраполяция при  планировании развития производства. В математике и статистике - продолжение динамического ряда данных по определенным формулам; соотносится здесь с понятием "интерполяция" (лат. interpolatio - изменение, подновление), обозначающим нахождение промежуточных значений по ряду логических или статистических данных. Таким образом, экстраполяции могут подвергаться как качественные так и количественные характеристики, а также некоторые уравнения (сформулированные для одной предметной области они переносятся на иные предметные области).

Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление  и характеристика основной тенденции  развития дают основание для прогнозирования - определения будущих размеров уровня экономического явления.

Процесс прогнозирования  предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, то есть прогноз основан  на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой и в прошлое - ретроспективой. Обычно, говоря об экстраполяции рядов динамики, подразумевают чаще всего перспективную экстраполяцию. Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы, в зависимости от исходной информации. Можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и экстраполяция на основе применения метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представления развития явлений во времени в виде уравнения тренда, т.е. математической функции уровней ряда (y) от фактора времени (t).

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, то есть представленной в виде прямой, проведенной через две крайние точки.

Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на t шагов вперед (t - период упреждения) необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд, то есть достаточно воспользоваться следующей формулой: 

    (8.24)  

где: 
- экстраполируемой уровень, (i+t) - номер этого уровня (года); 
i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который рассчитан ; 
t - срок прогноза (период упреждения); 
- средний абсолютный прирост.

Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции в этом случае необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции, то есть по формуле: 

    (8.25)  

где: 
y_i - последний уровень ряда динамики; 
t - срок прогноза; 
- средний коэффициент роста.

Если же ряду динамики свойственна иная закономерность, то данные, полученные при экстраполяции  на основе среднего темпа роста, будут  отличаться от данных, полученных другими  способами экстраполяции.

Рассмотренные способы экстраполяции тренда, будучи простейшими, в то же время являются и самыми приближенными.

Поэтому наиболее распространенным методом прогнозирования  является аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t).

При таком  подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризирующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными  факторами, а с течением времени, то есть y = f(t).

Поэтому целесообразно  определение доверительных интервалов прогноза.

Величина  доверительного интервала определяется следующим образом:

    (8.26)

где: 
- средняя квадратическая ошибка тренда; 
- расчетное значение уровня; 
- табличное значение t-критерия Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем вероятности p.

Вместо  - критерия удобно использовать коэффициент (К*). 

    (8.27)  

Значение К зависит только от n и L, т.е. продолжительности наблюдения и периода упреждения. При увеличении продолжительности наблюдения (n) значения К* уменьшаются, наоборот, с ростом величины L они растут.

Для иллюстрации  расчета доверительных интервалов обратимся к примеру с динамикой  объема продаж (табл. 8.4). Используем следующее  выражение для доверительного интервала: 

 

Для экстраполяции  используем уравнение тренда, полученное по прямой: . Подставив соответствующее значение t в наше уравнение, получим точечные прогнозы на 2005 - 2007 гг. (графа 2 таблицы 8.6). Для построения интервальных прогнозов рассчитаем среднеквадратическую ошибку тренда ( ) и используем значения К* ^[1].

Результаты  прогноза представлены в таблице (8.6): 
 
 
 

Таблица 8.6

Прогнозные  значения объема продаж торговой фирмы на 2005-2007гг. (млн. руб.)

 

При анализе  рядов динамики иногда приходится прибегать  к определению некоторых неизвестных  уровней внутри данного ряда динамики, то есть к интерполяции.Как и экстраполяция, интерполяция может производится на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также с помощью аналитического выравнивания. При интерполяции предполагается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого нам неизвестны.