Задачи по "Математике"

Задание 1

 

 

F( х₁, х₂ ) = х₁ - 2 х₂  min

    

 

1   Для решения задачи линейного программирования используем графический метод.

 

1.1   Построим область допустимых решений

 

Неравенства   задают первую координатную четверть декартовой системы координат О .

 

Определим: какую часть плоскости описывает неравенство

  .

 

Для этого построим прямую Р₁: - .

Она проходит через точки:    если  = 0  =  0 точка O( 0; 0 )

   если  = 5 = 5 точка А( 5; 5)

Точка ( 5; 0 ) лежит ниже прямой Р₁: - , при этом

- 5 + 0 = - 5 , т.е. выполняется неравенство. Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством  ,  находится в той же части, что и точка ( 5; 0 )  -  полуплоскость отмечена знаком  «».

 

Определим: какую часть  плоскости описывает неравенство

 .

 

Для этого построим прямую Р₂: 

Она проходит через точки:    если  = 0 =    3 точка С(0; 3)

   если  = 0 = 1,5 точка В(1,5 ; 0)

Точка (1; 0) лежит ниже прямой Р₂, при этом

   1 + 0 = 2 , т.е. выполняется неравенство. Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством    находится в той же части, что и точка ( 1; 0 )  -  отмечена знаком  «».

 

Найдем координату точки  М пересечения двух прямых:

 

, вычитаем из первого второе уравнение. Получаем

 

= - 3 .  Отсюда,   = 1,  = = 1 ,   ( Точка M ( 1; 1) ).

 

Определим: какую часть  плоскости описывает неравенство

 .

 

Для этого построим прямую Р₃: 

Она проходит через точки:    если  = 0 =    - 1 точка D( 0; -1 )

   если  = 0 = 1 точка E(1 ; 0)

Точка (0; 0) лежит выше прямой Р₃, при этом

0 - 0 = 0 , т.е. выполняется неравенство. Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством  ,  находится в той же части, что и точка ( 0; 0 )  -  полуплоскость отмечена знаком  «».

 

Найдем координату точки  N пересечения двух прямых:

 

, складываем  уравнения. Получаем

 

= 4 .  Отсюда,    = ,  = = ,   ( Точка N (  ; ) ).

 

 Тем самым получаем  многоугольник OMNE - область допустимых решений задачи (заштрихован).

 

Выполним построения области  допустимых решений ОCMB.

       

       

 

 

    

   

               Р₁: 

 

  5           A(5;0)

 

 

 

  4   

 

   

 3 

          C

L_max         Р₃:

 

 

  2

L_min

 

    M(1;1) L

  1 

N(  ; )

         B                В 

  O         E  1    2    3          4     5              

       Р₂: 2     

       D(0;-1)

 

 

  -2    

 2.2  Построим вектор   целевой функции (градиент, вектор нормали).

 

Координаты конца вектора  определяются коэффициентам целевой  функции 

F( х₁, х₂ ) = х₁ - 2 х₂  , при этом начало вектора находится в точке (0;0):   ( 1 ; - 2 ).

 

2.3  Построим линию уровня  целевой функции

 

Для этого приравняем целевую  функцию к постоянной величине d:

 X₁ - 2 X₂  = d.   Пусть d = 0.    Тогда уравнение линии нулевого уровня L:

X₁ - 2 X₂  = 0 и она проходит через точки (0;0) и ( 2; 1)  

  Линия L перпендикулярна вектору

 

2.4   Нахождение минимального значения

 

  Будем перемещать линию L  в направлении противоположном вектору (это направление, в котором значение целевой функции убывает) и установим точку выхода линии L из области допустимых  решений – именно в ней целевой функции

 F( х₁, х₂ ) = х₁ - 2 х₂  принимает минимальное значение.

Линия выходит из области допустимых решений в точке М( 1; 1).

Числа х₁ = 1,    х₂ = 1 определяют минимальное значение целевой функции

F( х₁=1, х₂=1 ) = 1 - 2 1  = -1

 

2.5  Ответ:  При х₁ = 1 и  х₂ = 1 целевая функция принимает минимальное значение

F min( х₁=1, х₂=1 ) = - 1.

 

 

Задание 2

 

1 Найти полуплоскость,  определяемую неравенством:

 

А)  .

 

Решение

 

  Построим прямую Р₁: 

Она проходит через точки:    если  = 0 =  1 точка А(0; 1)

   если  = 0 = -1 точка В( -1 ; 0)

Возьмем  точку (0; 0). Она  лежит ниже прямой Р₁, при этом 0 – 0 + 1 = 1 , т.е. выполняется неравенство . Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством  , находится в той же части, что и точка

 (0; 0)  -    полуплоскость отмечена знаком  «».

   

 

      Р₁: 

 

      2

 

       1        А(0;1)

    -1          1      2

    В(-1;0)     

 

В)  .

 

Решение

 

  Построим прямую Р₁: 

Она проходит через точки:    если  = 0 =  2 точка А(0; 2)

   если  = 0 = -4 точка В( -4 ; 0)

Возьмем  точку ( - 4; 2 ). Она лежит выше прямой Р₁, при этом

- 4 – + 4 = - 4 , т.е. выполняется неравенство . Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством  , находится в той же части, что и точка (- 4; 2 )  -  полуплоскость отмечена знаком  «».

   

 

         Р₁: 

 

             2   А(0;2)

 

              1 

        -4     -3      -2 -1

    В(-4;0)     

 

 

 

2 Найти область решений  системы неравенств:

 

Решение

 

Область решений представляет собой пересечение полуплоскостей данных неравенств. Построим каждую полуплоскость.

 

Определим: какую часть  плоскости описывает неравенство

  .

 

Для этого построим прямую Р₁:  .

 Точка ( 1; 0 ) лежит левее прямой Р₁:  , отсюда, полуплоскость так же лежит левее прямой Р₁:    -  полуплоскость отмечаем знаком  «».

 

Определим: какую часть  плоскости описывает неравенство

  .

 

Для этого построим прямую Р₂:  .

Она проходит через точки:    если  = 0   =  1 точка А( 0; 1 )

   если  = 0  = 3 точка В( 3; 0)

Точка ( 0; 3 ) лежит выше прямой Р₂:  , при этом

0 + 3  = 9 , т.е. выполняется неравенство . Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством  ,  находится в той же части, что и точка ( 0; 3 )  -  полуплоскость отмечена знаком  «».

 

Определим: какую часть  плоскости описывает неравенство

  .

 

Для этого построим прямую Р₃:  .

Она проходит через точки:    если  = 0   =  1 точка А( 0; 1 )

   если  = 0  =  -1 точка С( -1; 0)

Точка ( 0; 0 ) лежит ниже прямой Р₃:  , при этом

0 - 0  + 1 = 1 , т.е. выполняется неравенство . Следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством     ,  находится в той же части, что и точка ( 0; 0 )  -  полуплоскость отмечена знаком  «».

 

Найдем координату точки  М пересечения двух прямых:

 

,     2 - ,   = 3   . Получаем   точку М ( 2; 3) ).

 

Найдем координату точки  N пересечения двух прямых:

 

,  2 ,   =     . Получаем точку N (  2; ) .

 

 Тем самым получаем  треугольник АМN - область допустимых решений неравенств  (заштрихован).

 

Выполним необходимые  построения.

 

    

    Р₃: 

 

Р₁: .

 

 

 

   3    М(2;3)

 

 

 

      2

 

 

    1            А(0;1)

N(  2; )

 

1  2      

 

Р₂: