Задачи линейного программирования

Введение.

Большое число экономических задач сводится к линейным математическим моделям. Традиционно оптимизационные линейные математические модели называются моделями линейного програм-мирования. Этот термин появился в конце 30-х годов, когда про-граммирование на компьютере еще не было развито, и соответствует не очень удачному переводу английского "programmation". Под линейным программированием понимается линейное планиде, т. е. получение оптимального плана—решения в задачах с линейной структурой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                

1. Постановка задачи  линейного программирования (ЛП)

В общем виде задача линейного  программирования ставится следующим  образом.    

Максимизировать (минимизировать) функцию

                                          (1)

при ограничениях          

                                                (2)

                                                         

                                                          (3)

 

                                                            (4)

где x_j,   –управляющие переменные или решения задачи  
(1)–(4); b_j, a_ij,   – параметры, f – целевая функция или критерий эффективности задачи.

Функция (1) – линейная, ограничения (2)–(4) – линейные. Задача содержит п переменных и т ограничений.

Решить задачу линейного  программирования  –  это значит найти значения управляющих переменных x_j,   удовлетворяющих ограничениям (2)–(4), при которых целевая функция (1) принимает минимальное или максимальное значение.

В зависимости от вида целевой функции (1) и ограничений  
(2)–(4) можно выделить несколько типов задач линейного программирования или линейных моделей: общая линейная задача, транспортная задача, задача о назначениях.

В этой главе рассматривается  общая линейная задача.

Приведем пример экономической  задачи, сводящейся к линейной модели.

Пример 1

Предприятие производит изделия  трех видов, поставляет их заказчикам и реализует на рынке. Заказчикам требуется 1000 изделий первого вида. 2000 изделий второго вида и 2500 изделий  третьего вида.

Условия спроса на рынке  ограничивают число изделий первого  вида 2000 единицами, второго – 3000 и  третьего – 5000 единицами.

Для изготовления изделий  используется 4 типа ресурсов. Количество ресурсов, потребляемых для производства одного изделия, общее количество ресурсов и прибыль от реализации каждого вида изделия заданы в табл. 1.

Таблица 1  

Тип ресурсов	Вид изделий			Всего ресурсов
	1	2	3
1 2 3 4	500 1000 150 100	300 200 300 200	1000 100 200 400	25000000 30000000 20000000 40000000
Прибыль	20	40	50

Как организовать производство, чтобы:

1) обеспечить заказчиков;

2) не допустить затоваривания;

3) получить максимальную  прибыль?

Построение математической модели 1.

Выполним последовательно  этапы построения математической модели, сформулированные в пункте 3.    

1) Цель – получение  максимальной прибыли.

2) Параметрами являются  все числовые данные, приведенные  в условии задачи.

3) Управляющие переменные:

x₁ – число изделий первого вида;

x₂ – число изделий второго вида;

x₃ – число изделий третьего вида;

4) Ограничения: обеспечить  заказчиков, не превысить, запас  ресурсов, не допустить затоваривания  рынка.

В соответствии с этими  ограничениями выпишем область  допустимых решений задачи:

                          (5)

Первые три неравенства  в системе (5) соответствуют спросу заказчиков. Неравенства с четвертого по шестое формализуют спрос на рынке. Последние четыре неравенства соответствуют ограничениям по ресурсам.

5)   Целевая функция или критерий эффективности задачи имеет вид

Р = 20х₁ + 40 х₂ + 50 х₃   max.                               (6)

В формуле буквой Р обозначена прибыль. Ее надо максимизировать. Каждое слагаемое определяет прибыль от производства изделий каждого вида соответственно в количествах х₁, х₂, х₃ .

(5)(6)— математическая модель поставленной задачи. Ограничения и целевая функция линейны по управляющим переменным, следовательно, данная модель является линейной. При составлении модели предполагалось, что прибыль линейно зависит от числа реализуемых изделий.

Приведем примеры некоторых  типичных экономических и производственных задач, оптимальное решение которых  может быть найдено с помощью  построения и расчета соответствующих  линейных математических моделей. 

1.1. Планирование производства 

Для изготовления различных  видов изделий используются разные ресурсы. Общие запасы каждого ресурса, количество ресурса каждого типа, затрачиваемого на изготовление одного изделия каждого вида, и прибыль, получаемая от реализации одного изделия  каждого вида, заданы. Нужно составить  план производства изделий, обеспечивающий максимальную суммарную прибыль  от реализации изделий.Построение математической модели.

Математическую модель строим по этапам, сформулированным в пункте 3.

1)   Целью является максимизация прибыли.

2)  Задача решается в общем виде, поэтому для определения параметров введем условные обозначения:

n – число различных видов изделий;

m – число различных типов ресурсов;

b_i – запас ресурса i-го типа,  ;

a_ij – количество ресурсов i-го типа для изготовления одного изделия j-го вида, 

Pj – прибыль от реализации одного изделия j-гo вида.

3)  Управляющие переменные x_j,   – число изделий j-го вида.

4) Ограничения задачи  – это ограничения по ресурсам  и условия неотрицательности  управляющих переменных.

Таким образом, можно построить  математическую модель. 

                                                 (7)   

                           (8) 

(7), (8) – линейная математическая модель поставленной задачи. В результате ее расчета определяют оптимальный план производства, т. е. количество изделий каждого вида, которые надо изготовить так, чтобы при этом была максимальна прибыль (7)  и не был превышен запас ресурсов (8) 

1.2. Формирование минимальной  потребительской  
               продовольственной корзины 

Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт  содержит определенное количество разных питательных веществ (витаминов  и калорий). Известен требуемый человеку минимум питательных веществ  каждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную  корзину, имеющую минимальную стоимость. Составление математической модели.

1) Целью является  минимизация стоимости потребительской  корзины.

2)  Параметры задачи:

п – число различных продуктов, имеющихся в продаже;

m – число различных питательных веществ, необходимых человеку;

a_ij – содержание i-го питательного вещества в j-м продукте,   

b_t – количество i-го питательного вещества, необходимое человеку, 

c_j – стоимость единицы j-го продукта, 

3) Управляющие переменные x_j, – это количество j-го продукта, входящего в потребительскую корзину, 

4) Область допустимых  решений определяется следующей  системой неравенств, содержащей  условия по необходимому уровню  потребления каждого питательного  вещества во всех продуктах  и условия неотрицательности  управляющих переменных:

                             (9)

5) Критерий оптимальности С имеет вид

                                                  (10)

(9), (10) – линейная математическая модель. После ее расчета определяют значения x_j, удовлетворяющие ограничениям (9) и доставляющие минимум функции (10), т. е. рассчитывается состав минимальной потребительской продовольственной корзины. 

 

 

 

 

1.3. Расчет оптимальной  загрузки оборудования 

 

Предприятию необходимо выполнить  производственный заказ на имеющемся  оборудовании. Для каждой единицы  оборудования заданы: фонд рабочего времени, себестоимость на изготовление единицы  продукции каждого вида и производительность, т. е. число единиц продукции каждого  вида, которое можно произвести в  единицу времени. Нужно распределить изготовление продукции между оборудованием  таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальна. Составление математической модели.

1) Целью является минимизация  себестоимости.

2) Параметры:

т – номенклатура, т. е. число различных видов продукции в производственном заказе;

b_i – число единиц продукции i-го вида,  ;

п – число единиц оборудования;

T_j – фонд времени работы оборудования j-го типа, 

a_ij – производительность оборудования j -го типа по производству изделий i-го вида,  ; 

c_ij – себестоимость изготовления единицы продукции i-го вида на оборудовании j-го типа,

3) Управляющие переменные x_ij, – это время, в течение которого оборудование j-го типа занято изготовлением  продукции i-го вида.

4) Область допустимых решений определяется ограничениями к (10) по фонду времени, ограничениями (11) по номенклатуре и условиями неотрицательности x_ij

                                             (11)

                             (12)

5)  Критерий оптимальности задается функцией

                                       (13)

где С – суммарная себестоимость.

Система (11)–(13) – линейная математическая модель задачи. Она содержит m*m неизвестных (управляющих переменных) и т+пограничений, не считая условий (3.11). После расчета модели определяется оптимальная загрузка оборудования, т. е. время в течение которого оборудование каждого типа занято изготовлением продукции каждого вида. 

1.4. Раскрой материала 

На раскрой (распил) поступает  материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами

Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого  вида. Определить способ раскроя, при  котором суммарная себестоимость  минимальна.

Составление математической модели.

1) Цель – минимизация себестоимости раскроя.

2) Параметры:

п – число различных видов материала, поступающего на раскрой;

d_j – количество материала j-го вида, 

m – число различных видов изделий, которые надо изготовить;

b_j – число изделий i-го вида, 

l  – число различных способов раскроя;

a_ijk – число изделий i-го вида, которое можно получить из единицы материала j-го вида при k-м способе раскроя ;

c_jk – себестоимость раскроя единицы материала j-го вида k-м способом;

3) Управляющие переменные x_jk – количество единиц материала j-го вида, раскраиваемых k-м способом;

4) Область допустимых  решений определяется ограничениями  по количеству исходного материала (13), ограничениями по выпуску (14) и условиями неотрицательности управляющих переменных.                         

                                      

                             (14)

5)  Критерий оптимальности задается функцией

                                     (15)

(14)–(15) – линейная математическая модель поставленной задачи. Она содержит ml неизвестных (управляющих переменных) и п+тограничений, не считая условий неотрицательности переменных X_jk. После расчета модели определяется количество материала каждого вида, раскраиваемого различными способами.