Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры

3) Доказать, что, если в точке x=c одна из функций f и g непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов (s) и (s) влечет за собой существование и (s) .

С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы, а мы будем включать точку с в состав точек деления, то сумма σ будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков [a,c] и [b,c]; при λ=max Δx_i→0 она будет стремиться к сумме интегралов 

     Пусть теперь точка с не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку с, мы от σ перейдем к новой сумме , про которую мы уже знаем, что при λ→0 она имеет указанный предел. Таким  образом, достаточно показать, что разность σ- будет вместе с λ стремиться к 0.

      Пусть точка с попадает в промежуток [x_k, x_k+1]; тогда сумма отличается от суммы а лишь тем, что вместо слагаемого f(ξ_k) [g(x_k+1)-g(x_k)] в ней имеется два слагаемых: f(ξʹ) [g(c)-g(x_k)]+f(ξ″) [g(x_k+1)-g(c)], где ξʹ и ξ″ выбираются произвольно под условиями x_k ≤ ξʹ≤ c и c ≤ ξ″≤ x_k+1. Положив для упрощения ξʹ=ξ″=c, сведем последнее выражение к f(c) [g(x_k+1)-g(x_k)] так что

                                                      

Когда λ→0, то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, σ- →0, что и требовалось

доказать.

4) Если  обе функции f(x) и g(x) оказываются разрывными в одной и той же точке x=c (a≤ c ≤ b), то интеграл Стилтьеса 

заведомо  не существует.

     Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала a< c < b, и пределы g(c-0) и g(c+0) неравны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку с не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, x_k < c < x _k+1. Выбрав один раз ξ_k≠c, а другой раз взяв с в качестве ξ_k составим две суммы σ и разность которых сведется к выражению (*). Сближая точки деления, будем иметь g(x_k+1)-g(x_k)→g(c+0)-g(c-0)≠0.

     Кроме того, точку ξ_k  можно выбирать так, чтобы и разность f(ξ_k)-f(c) была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность σ- не стремится к 0, так что интеграл существовать не может.

     Если же g(c-0)=g(c+0), но их общее значение отлично от g(c) [«устранимый разрыв»] ( cюда относится и случай, когда либо c=a и g(a+1) отлично от g(a), либо c=b и g(b-0) отлично от g(b)) то, наоборот, включим с в число точек деления; пусть c=x_k. Если f(x) имеет, например, разрыв в точке x=c  справа, то, как и только что, составим две суммы σ и разнящиеся лишь выбором ξ_k: для σ точка ξ_k взята произвольно между x_k=c и x_k+1, а для в качестве ξ_k взята с. Попрежнему имеем (*), и рассуждение завершается аналогично.

5) Пусть  f(x) непрерывна, a g(x) имеет ограниченное изменение в промежутке [a,b].

     Опираясь на оценку (21), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса 

по переменному  верхнему пределу  х в точке x₀, где функция g(x) непрерывна.

     Заключение сразу вытекает из неравенства 
 

3.5. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.

Вернемся  к рассмотрению криволинейных интегралов второго типа 
 

     Представим себе, что кривая (AB) задана параметрическими уравнениями x=φ(t), y=ψ(t) и описывается именно в направлении от A к B, когда t монотонно изменяется от α до β. Пусть для определенности α< β. Тогда точкам A_i (i=0,1,…,n), взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра t:

α=t₀ < t₁ <…< t _i < t _i+1<…< t _n=β,

а выбранной  на дуге точке M_i – значение t=τ_i , t_i ≤ τ_i ≤t _i+1 (i=0,1,…,n-1).     Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде 

Непосредственно ясно, что она представляет собою  стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла Стилтьеса: 

Аналогично  и 

     Отсюда с легкостью получаются очень общие условия существования криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию f(x,y) непрерывной, а функцию φ(t) (или ψ(t) смотря по случаю) имеющей ограниченное изменение (по п.3, 1°).

     В частности, если кривая (AB) спрямляема, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны, то существует интеграл 
 

3.6. Примеры.

№1. Вычислить по формуле (11) интегралы:

a) (s)

б) (s)

в)(s)

№2. Вычислить по формуле (15)   интегралы:

а) S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 и

                                  скачок -2, при х=2

в остальных  точках g(x)=0, т.к. g(x)=const, то

(S)

б) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=1/2 и

                                  скачок -2, при х=3/2

в остальных  точках g(x)=0, т.к. g(x)=const, то

(S)

№3. Вычислить по формуле (15)

а)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 и

                                  скачок 1, при х=  
 
 
 
 

б)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 и

                                  скачок 1, при х=  
 

+

в)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 и

                                  скачок 1, при х=  
 

+

= 

№4.а) Составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1;3]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке  х=1 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х-1

В точке  х=2 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х

В точке х=3 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2*3+1=7

Итого:

Ф(х)=

б)  Составить выражение Ф(х) для следующего распределения масс: массы величины 2 в точках х= 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [0;5]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке  х=2 функция терпит скачок =2 => Ф(х)= x²+2

В точке  х=4 функция терпит скачок =2 => Ф(х)= x²+2+2=x²+4

Итого:

 Ф(х)= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

     Подведем итоги. В курсовой работе определено понятие интеграла Стилтьеса. Было выяснено, что он является непосредственным обобщением обычного определенного интеграла Римана, путем составления суммы Стилтьеса и нахождения ее конечного предела. 

     Были определены необходимые и достаточные условия существования интеграла Стилтьеса, а так же его свойства и методы вычисления, которые ярко представлены на практических примерах.

      Итак, можно сделать вывод, что интеграл Стилтьеса имеет широкое применение в различных разделах математики и в других науках. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы:

1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.Москва 1960.

2. И.П.Макаров.  Теория функций действительного  переменного.

3. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций  и функционального анализа. Изд.4.Москва 1976.