Практическое применение модели Леонтьева

Введем  следующие обозначения:

-  общий (валовой) объем продукции  i–й отрасли (i = 1,2,…,n);

- объем продукции i-й отрасли,  потребляемой j-й отраслью в процессе  производства (i,j = 1,2,…,,n);

- объем конечного продукта i-й  отрасли для непроизводственного  потребления. При этом величина xij может быть представлена следующим образом:

(3.3)

      Величина aij называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты aij считаются в межотраслевой модели постоянными.

Подставляя  выражение (3.3) в формулу (3.1), получим:

Это соотношение  можно записать в матричном виде:

,

(3.4)

где X = (x1, x2, ..., xn) - вектор валовых выпусков;

Y = (y1, y2, ..., yn) - вектор конечного продукта;

- матрица  коэффициентов прямых материальных  затрат.

Уравнение (3.4) называется моделью Леонтьева. Интерпретируя  выражение АХ как затраты, эту  систему часто называют моделью  «затраты выпуск».

Коэффициенты  прямых материальных затрат являются основными параметрами статической  межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1. Статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;
2. Нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение (3.4) принято называть балансом распределения  продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры  экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав  конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые  выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (3.4):

,

(3.5)

где E - единичная  матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и  не будут ли получены отрицательные  значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов  прямых материальных затрат.

1. Неотрицательность, то есть aij ≥ 0,   , . Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.
2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, то есть .

Докажем это утверждение.

Для любой  отрасли условно чистая продукция  есть величина положительная, поскольку  включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. Vj>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно  записать:

,

из соотношения (3.3):

,

откуда, безусловно, следует:

.

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий  матрица B = (E - A)-1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что  в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (3.5):

(3.6)

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат.   

Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый  выпуск i-й отрасли для того, чтобы  обеспечить выпуск единицы конечного  продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

(3.7)

Умножим обе  части на (E - A):

,

,

,

,

.

Доказано.

Из соотношения (3.7) следует bij ≥ aij,   , . Таким образом, коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B следует:

.

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере который изображен на рисунке 3 : пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб.

 

Рисунок 3  Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

 

Полные  затраты на изготовление хлеба для данного примера складываются из прямых затрат (мука, электроэнергия, оборудование), и косвенных затрат всех уровней, к примеру, чтобы изготовить муку -  нужно зерно, электроэнергия и т.д. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

Покажем только что изученную модель на примере 1. [7, С. 301]

Пример 1. В таблице 1 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.

Нужно вычислить  необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохраниться на прежнем уровне.

Таблица 1

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72	100
	Машиностроение	12	15	123	150

 

Имеем x1=100, x2=150, x11=7, x12=21, x21=12, x22=15, y1=72, y2=123. По формуле (3.3) находим коэффициенты прямых затрат: a11=0,07; a12=0,14; a21=0,12; a22=0,10, то есть матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: max{0,07+0,12;0,14+0,10}=max{0,19;0,24}= 0,24<1. Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле . Найдем матрицу полных затрат :

Так как |E-A|=0,8202≠0, то отсюда следует:

По условию  вектор конечного продукта Тогда по формуле (4) получаем вектор валового выпуска:

То есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а машиностроительной – до 160,5 усл. ед. [9, С. 168]

 

 

 

 

2.3. Модель равновесных цен

 

Рассмотрим  теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как  и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив  это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в  матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т. [10, С. 200]

 

 

4. Динамическая модель Леонтьева

 

Рассмотрим  модель Леонтьева во времени. Предположим, что из выпуска каждой отрасли  предназначенной для потребления  выделяются инвестиции на развитие каждой отрасли. Статический межотраслевой баланс Леонтьева: приравниваем чистый выпуск отраслей конечному спросу на продукцию отраслей.

,

где   тогда:

 

- вектор-столбец годовых валовых  выпусков отраслей;

 тогда 

- вектор-столбец  годового конечного спроса на  продукцию отраслей;

  - матрица прямых затрат, каждый элемент которой aij показывает, сколько единиц продукта i необходимо для производства единицы j-го продукта. При этом предполагается, что a_ij не зависят от времени и масштаба производства.

Если  теперь вектор конечных продуктов y_t в каждый год t, представить в виде двух векторов: инвестиционных товаров (продуктов) и потребительских товаров, то получим модель динамического межотраслевого баланса:

 

где - матрица приростных фондоемкостей, каждый элемент которой b_ij показывает, сколько единиц продукта i необходимо произвести для увеличения годового производства j-го продукта на единицу;

c_t – вектор-столбец конечного (непроизводственного) потребления.

С экономической  точки зрения соотношение  показывает разделение вектора валовых выпусков (а следовательно, и каждый его компоненты) на три части:

1. - текущее производственное потребление, включая амортизацию;
2. - капитальные затраты на расширенное производство;
3. - конечное (непроизводственное) потребление.

Динамическая  модель межотраслевого баланса характеризует  производственные связи народного  хозяйства на ряд лет, отражает процесс  воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются  два типа расчетов: первый тип, когда  по заданному уровню конечного потребления  рассчитывается сбалансированный объем  производства и распределения продукции. Второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.[9, С. 45]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Практическое применение модели Леонтьева

 

Практическое  применение метода «затраты - выпуск» достаточно широко. В США после Второй мировой войны под руководством Леонтьева составлена матричная таблица включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х начала 80-х годов.

Леонтьев  экстраполировал методику на группу стран отдельных континентов  и в конечном итоге на мировое  хозяйство. Если Маркс делил экономику  на два сектора производство средств  производства и средств потребления, то Леонтьев увеличил количество отраслей до произвольной величины, для которой  можно собрать данные. Метод наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия. Он способствовал  усовершенствованию математического  аппарата путем определения новых  коэффициентов, пригодных для создания динамических моделей реальной экономики, обеспечил совершенствование системы  национальных счетов.

Первоначальным  моментом применения метода «затраты - выпуск» является изучение структуры, которая представляется в виде вектора структурных коэффициентов. Его содержание представляет количественные связи между затратами на производство и результатом работы каждого конкретного сектора. Связи представляют собой статистические данные экономики за конкретный период в материально-вещественном выражении. В качестве примера используем приведенный самим Леонтьевым упрощенный трехсекторный баланс, который состоит из сельского хозяйства, промышленности и домашнего хозяйства. Всю продукцию сельского хозяйства предлагается привести к зерну, промышленности к ткани, а домашнее хозяйство человеко-годам труда. [11, С. 298]