Построение полуполевых плоскостей

        

        
 
 
 
 
 

2.2. Изоморфизм полуполевых плоскостей 

      На  следующем этапе работы было необходимо разбить множество построенных плоскостей на классы плоскостей, изоморфных между собой. Для этой цели была применена теорема, доказанная в [3]. 

      Теорема 2.2. Пусть π – спрэд V, π' – спрэд V'. Если σ – изоморфизм плоскости трансляций π(V) на плоскость трансляций π'(V') такой, что 0^σ =0, тогда σ – биективное полулинейное отображение векторного пространства V на векторное пространство V' . 

      Или другими словами, плоскость π изоморфна плоскости π΄ найдется полулинейное отображение , сохраняющее компоненты расщепления,

.

Здесь σ – автоморфизм поля GF(4), А – невырожденная матрица,  (x,xθ) π, а . 

      Установление  изоморфизма заключается в определении  зависимости между матрицами регулярных множеств (а точнее, между функциями, определяющими вид матриц).

      Возможны  случаи:

         I) А=Е, σ – возведение в квадрат;

        II) А Е, σ=1;

        III) А Е, σ – возведение в квадрат. 

      Так как мы рассматриваем полный список плоскостей, то достаточно установить наличие изоморфизмов типа I и II.

      Рассмотрим  случай I.

Пусть        ,  а   .

Известно:

      

.

Зная, что х= , , получаем:        

,

.

      Таким образом, мы получили, что  , т.е. все коэффициенты, стоящие при переменных u  и v, возводятся в квадрат:

      

,

      

. 

Рассмотрев первую плоскость, мы найдем изоморфную ей:

первая плоскость изоморфна  второй (1 2);

Дальнейшие  вычисления показывают, что: (3 3), (4 4), (5 5), (6 6), (7 11), (8 12), (9 13), (10 14), (15 15), (16 16), (17 18), (19 20), (21 22), (23 24), (25 27), (26 28), (29 43), (30 44), (31 45), (32 46), (33 47), (34 48), (35 55), (36 56), (37 50), (38 49), (39 52), (40 51), (41 53), (42 54). 

      Итак, построив отображение типа I (А=Е, σ: ), мы  получили 31 класс плоскостей, все плоскости приведены в приложении 2. Далее мы работали с этими классами. 
 

      Рассмотрим  случай II.

Для любой  матрицы  существует матрица  

      

,

здесь А_i – матрицы размерности 2 2 над GF(4).

Рассмотрим изоморфные полуполевые плоскости.

      

                                                                             (∞) 

                                                                       [0] 

                                                             (0,y)                                    [∞] 
 

                                                   (0,0) 

Рис. 3 

      Все точки, находящиеся на прямой [0] первой плоскости, имеют вид (0,у). Под действием изоморфного отображения они должны перейти в точки, лежащие на прямой [0] второй плоскости (так как точка (0,0) фиксируется и точка (∞) – трансляционная) (рис. 3). Следовательно,

    .

Таким образом, мы имеем:

,

  и   .

Из последнего равенства получим:

.

      Для θ = 0   имеем:

,  .

Следовательно,

,

,

.

Т.к. регулярное множество замкнуто по сложению, то можно сделать замену:

.

Таким образом, мы получаем:

                                                                        .                                      

      Для θ = Е  имеем  

, .

Для имеем   .

Рассмотрим подробнее  получившуюся матрицу А:

.

      Заметим, что S – изоморфизм :

,

это преобразование – элация с осью [0] и центром (∞). Можно сделать вывод, что достаточно рассматривать изоморфизмы вида

      

,

где А₄ – любая невырожденная матрица с элементами из GF(4), – некоторая из R.

Тогда

,

      

 

      Таким образом, для любой существует :  , то есть регулярное множество второй плоскости сопряжено с множеством для некоторой матрицы .  

      Этот  результат уточняет  теорему, приведенную  в [2]. 

      Теорема 2.3. Плоскости трансляций Г' и Г  изоморфны тогда и только тогда, когда R' сопряжено в GL(V) с одним из следующих множеств:

1)  , где  l ≠ k;

2)   , где l ≠ r;

3)   , где l, k, r – попарно различные элементы V;

4)  , где k ≠ r.

      В этой теореме выражение вида означает .

      Наш результат справедлив для линейных изоморфизмов полуполевых плоскостей. 

      Теорема 2.4. Если φ – линейный изоморфизм полуполевых плоскостей, то он может быть задан матрицей вида , где А₄ – любая невырожденная матрица с элементами из GF(4), ≠ 0 – некоторая матрица из R.

      Следует заметить, что в случае поля четного порядка достаточно рассматривать матрицу с определителем равным 1. Покажем, что это действительно так. 

      Пусть матрица имеет вид:

      A=

и .

Тогда матрицу  А можно записать в таком виде:

A=

, и |A|= ,

  .

(т.к.  в  поле четного порядка квадратный корень из любого элемента извлекается однозначно, то мы имеем право сокращать). 

      Была  написана программа на языке С++, рассчитывающая данный случай. В итоге мы получили 2 класса неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16:

      I) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32,  33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56}

      II) {17, 18, 31, 32, 45, 46}

или всего 2 плоскости: №1 и №17, и 17-я плоскость является дезарговой. Обозначим эти плоскости   и соответственно. 

      Для плоскостей номер 1 и 17 матрицы имеют вид:

      

 и  . 

      Лемма 2.5. Для дезарговой плоскости (плоскость №17) регулярное множество является полем.

      Доказательство  леммы 2.5. Функции матрицы регулярного множества для плоскости №17 имеют вид:

      

, .

      Проверим  необходимые аксиомы:

1) Замкнутость  по умножению:

,

.

      Замкнутость выполняется. 

2) Коммутативность  умножения:

,

,

      Коммутативность выполняется. 

3) Ассоциативность  умножения:

, 

Преобразуем левую часть равенства:

.

Преобразуем правую часть равенства: 

.

Ассоциативность выполняется.

4) Наличие обратного  элемента:

.

Лемма 2.5 доказана. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Исследование полуполевых плоскостей порядка 16

3.1. Латинские квадраты

 
 

      Определение 3.1.  Латинский квадрат порядка n – это матрица размерности n n с элементами из множества R, которые мы будем называть 0, 1, 2..., n-1, такая, что в каждой строке и столбце любой элемент встречается один раз. 

      Определение 3.2. Два латинских квадрата называются ортогональными, если их элементы, находящиеся на одинаковых местах, образуют n² неповторяющихся пар. 

      Пусть  R={0,1,2,…,n-1} – множество, координатизирующее проективную плоскость, T – тернарная операция. Для определим матрицу {x} таким образом: на место (i ,j) поставим значение T(i, x, j). Тогда верна лемма, доказанная в [1]: