Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

      Поскольку при копировании данные адреса, где  заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение не должны изменяться, ссылки на них должны быть абсолютными.

      1.2.2.7. Рассчитаем теоретическое значение  зависимой переменной. Теоретическое  значение зависимой переменной  определяется формулой:

       ,       (1.5)

      1.2.2.8. Смоделируем ошибку модели.

      Ошибка  модели моделируется центрированным нормальным законом распределения аналогично моделированию независимой переменной по формуле: «=(слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()-6)*[ σ_e]», где

[σ_e] - абсолютная ссылка на ячейку, где задано среднее квадратическое отклонение ошибки регрессионной модели.

      1.2.2.9. Рассчитаем фактическое значение  зависимой переменной. Фактическое  значение зависимой переменной  рассчитывается как сумма теоретического значения и ошибки.

      1.2.2.10. Моделируем сто наблюдений.

      Пользуясь средствами копирования содержимого  ячеек в Excel получаем 100 наблюдений независимой  и зависимой переменной. В ячейку количества наблюдений n ввести 100.

      1.2.2.11. Рассчитаем коэффициенты корреляции и детерминации.

      В ячейку для коэффициента корреляции вводим функцию «коррел» из категории  «статистические» для массивов зависимой  и наблюдаемой независимой (с  учетом ошибки) переменных.

      Коэффициент детерминации равен:

       ,       (1.6)

      1.2.2.12. Рассчитаем средние, суммы и  СКО:

Рисунок 1.4

      В соответствующие ячейки независимой  переменной вводим формулы расчета  среднего значения, суммы и среднего квадратического отклонения.

      Скопируем данные формулы для значений зависимой (факторной, наблюдаемой) переменных и ошибки регрессии (Рисунок 1.4).

Рисунок 1.5

      Представим  копию интерфейса с таблицей из первых 10-ти наблюдений и двух зависимостей (Рисунок 1.5).

      1.2.2.13. Исследуем влияние параметров  регрессионной модели на связь y(x) Исследуем влияние СКО ошибки регрессионной модели на коэффициент корреляции и детерминации. Изменяя СКО ошибки модели получаем моделируемые значения наблюдений (Рисунок 1.6, в верхней части приведены значения коэффициентов корреляции и детерминации).

Рисунок 1.6

      Исследуем влияние коэффициента регрессии  b на связь зависимой переменной от независимой. Построим графики для различных коэффициентов регрессии. Значения коэффициента регрессии b приведены в верхней части рисунка:

Рисунок 1.7

      Исследуем влияние коэффициента а на связь зависимой переменной от независимой. Построим графики для различных коэффициентов а (а>0, а<0). Значения коэффициента регрессии a приведены в верхней части рисунка:

Рисунок 1.8

      1.2.2.14. Сделаем выводы из полученных данных:

      - знак коэффициента регрессии  b имеет прямую связь со знаком коэффициента корреляции r. При изменении знака коэффициента регрессии b, меняется и знак коэффициента корреляции r.

      - при уменьшении среднего квадратического  отклонения σ_e, коэффициенты корреляции r и детерминации D увеличиваются.

      - при изменении параметра a коэффициент эластичности не меняется.

      - примеры регрессионных зависимостей  в экономике с параметрами:

      b>0 - зависимость средней заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного человека.

      b<0 - зависимость расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах %) от среднедневной заработной платы одного работающего.

      a>0 – зависимость расходов предприятия от объема производства.

      a<0 -

      1.3. Идентификация  модели парной линейной регрессии

      1.3.1. Основные положения  процедуры идентификации:

      Идентификация параметров модели основана на минимизации  суммы квадратов отклонений наблюдаемой  переменной от теоретической зависимости

            (1.7)

      т.е. необходимо найти такие коэффициенты a и b, которые позволяют получить наименьшее значение суммы квадратов отклонений в данном выражении. Дифференцирование данного выражения по коэффициентам a и b, приравнивание производных нулю:

          (1.8)

      позволяет получить систему нормальных уравнений:

             (1.9)

      Поделив, левые и правые части на n получаем:

             (1.10)

      Данный  метод вычисления коэффициентов  называется методом наименьших квадратов (МНК). Выражая средние значения через оператор среднего:

             (1.11)

      Система нормальных уравнений имеет вид:

            (1.12)

      Решение данной системы уравнений относительно a и b на основе формулы Крамера имеет вид:

             (1.13)

      Коэффициент a может быть получен как:

             (1.14)

      Данный  коэффициент может быть получен  также по формуле, вытекающей из теоретического уравнения линейной регрессии:

       , т.е.     (1.15)

             (1.16)

      1.3.2. Последовательность  выполнения:

      1.3.2.1. Создаем копию листа «Модель»  помещаем его перед листом  «Лист2» и переименуем его назвав  «Идентификация».

      1.3.2.2. Выделяем ячейки (Рисунок 1.9) для расчета:

      - коэффициентов a и b,

      - значений xy, x².

      - значений y, полученных по рассчитанным коэффициентам a и b.

      Колонки y=bx+a и e в расчете коэффициентов a и b участия не принимают, поскольку теоретическая зависимость и погрешность нам не известна. Именно их мы оцениваем по моделируемому фактическому значению y=bx+a+e.

Рисунок 1.9

      1.3.2.3. Рассчитаем значения xy, x².

      1.3.2.4. Получим средние значения, входящие  в формулы расчета коэффициентов  a и b.

      1.3.2.5. Рассчитаем коэффициенты a и b по формулам (1.15) и (1.16).

      1.3.2.6. Сопоставим заданные коэффициенты  a и b с рассчитанными.

      1.3.2.7. Получим столбец идентифицированной (с рассчитанными коэффициентами  линии регрессии a и b) (Рисунок 1.9).

      1.3.2.8. Добавим к графику факторной  линии регрессии график идентифицируемой линии (с рассчитанными коэффициентами).

      1.3.2.9. Увеличивая СКО случайного отклонения σ_е получаем два графика факторной и идентифицируемой линии регрессии (Рисунок 1.10).

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

      1.3.2.10. При увеличении СКО_е уменьшаются коэффициенты корреляции r и детерминации D, а, следовательно, уменьшается связь между изучаемыми параметрами. И это наглядно видно на графиках - несовпадение факторной и идентифицируемой линии регрессии.

      1.3.2.11. Получим два наблюдения за  процессом при одном и том же относительно большом СКО_е и построим графики (Рисунок 1.11).

      Изменение параметров линии регрессии происходит потому, что происходит изменение влияния случайных факторов на связь между изучаемыми параметрами.

      1.4. Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции.

      1.4.1. Основные положения:

      Общая сумма квадратов отклонения независимой  переменой y может быть представлена суммой квадратов отклонения y и остаточной суммы квадратов переменной

           (1.17) 
 

      Средние квадраты данных отклонений вычисляется  как:

             (1.18)

             (1.19)

             (1.20)

      F-отношение определяется как:

            (1.21)

      Нулевая гипотеза (об отсутствии связи между  y и x) принимается если:

       , где     (1.22)

      F_table(1,n-2,α) - табличное значение F-критерия для степеней свободы 1 (числитель), n-2 (знаменатель),α - уровень значимости.

      Гипотеза  о наличии связи между y и x принимается если

             (1.23)

      1.4.2. Порядок выполнения проверки нулевой гипотезы:

      1.4.2.1. Сделаем копию листа и озаглавим его «Существенность параметров».

      1.4.2.2. Сформируем заголовки таблицы модели (Рисунок 1.12).

      1.4.2.3. Выделим ячейки для расчета:

      - средних квадратов отклонений  на одну степень свободы (D_com, D_fact, D_rem),

      - коэффициента детерминации D через суммы квадратов отклонений,

      - средних квадратов отклонений,

      - F-отношения, через средние квадратов отклонений на одну степень свободы,

      - F-отношения, через коэффициент детерминации,

      - табличного значения F-критерия,

      1.4.2.4. Сформируем заголовки строк для расчета сумм квадратов отклонений.