Одномерный случай

Введение

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования,  которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией  на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b (Рис.1). Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Одномерный случай

  Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где  — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа  — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций  и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

2.1. Метод прямоугольников (правых, левых, средних ).

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

 З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

 - некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка такая, что среднее арифметическое  .

   В самом деле, обозначим  через m и M точные грани функции f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам и поделив результат на n, получим

    Так как непрерывная  функция принимает любое промежуточное  значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка такая, что

.  

 

    Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений.  Определенный интеграл есть площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой   на [a,b], ставится задача об определении этой площади.

Прежде всего, нужно разбить фигуру (рис. 2) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

  (1)

где , а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

 На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату обозначить через , то формула перепишется в виде

.

2.1.1. Дополнительный член в формуле прямоугольников.

 

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

  У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

             (2)

Доказательство.

      Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную     Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

 

     Для первого  из этих интегралов получим

     Для второго из интегралов аналогично получим

    Полусумма полученных  для  и выражений приводит к следующей формуле:

 

   (3)

   Оценим величину  , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на сегменте [-h, 0] и точка на сегменте

[0 ,h] такие, что

   В силу доказанного  замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что     

Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:

 

  Подставляя это выражение  в равенство (3), получим, что

  (4)

где

  .  (5)

  Так как величина  представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок

    Таким образом, формула тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

   И к каждому  из указанных интегралов применить  формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1). При этом воспользовавшись формулой, доказанной в утверждении, для функции и учитывая что, получим   дополнительный член в формуле прямоугольников

 

2.2. Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков представить прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция на [a,b]. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (Рис.3 ). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

  Где f(xk-1)  и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

 

 

 

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

 

 

Погрешность формулы трапеций:

где

2.3. Метод парабол (метод Симпсона).

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку.

 Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М1 (х1;  у1), М2 (х2;  у2), М3 (х3;  у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах2+Вх+С   (1)

Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2  , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно.

Отметим, что если А¹0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой

       (2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, откуда следует, что

2Аh2+2С=у1+у3; С=у2         (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x0<x1<x2<...<x2k<x2k+1<x2k+2<...<x2n-1<x2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2k , М2k+1 , М2k+2, ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

 М0 М1 М2 , ..., М2k М2k+1 М2k+2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то по формуле (2) имеем  [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где yk=f(xk), k=0, 1, 2, ...,2n.  Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ..., х2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ..., х2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, х1, х2n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В высшей математике доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

 

где М - наибольшее значение на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как n4 растет быстрее, чем n2, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

 

2.4. Увеличение точности.

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

1. Правило Рунге.

Правило Рунге - правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея  состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

4. Метод Гаусса.

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

5. Метод Гаусса-Кронрода.

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где xi — узлы метода Гаусса по n точкам, а 3n + 2 параметров ai, bi, yi подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен 3n + 1.

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

,

где IG — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по n точкам.

 

 

 

3. Заключение и выводы.

    Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов  с

помощью  квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает  нам

точного значения, а только приближенное.

     Чтобы максимально  приблизиться  к  достоверному  значению  интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и  формулу,  по  которой  будет  вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

       Хотя  численные методы и не дают  очень точного значения интеграла,  но они очень важны, так  как  не всегда  можно  решить  задачу интегрирования аналитическим способом.

 

6. Приложения

 

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Рис. 2.

 

 

 

 

 

 

Рис.3.Метод трапеций