Непрерывные и дискретные случайные величины

                                   

 

СиБГиУ  

 

Кафедра: Высшей математику  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Семестровая работа  

 

на тему: Непрерывные и дискретные случайные величины.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

      Выполнил:                  

    Проверил:                                                                            

 

 

  

 

 

  

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

Новокузнецк  2015.

 

 

 

 

 

Непрерывные и дискретные случайные величины 

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. 

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений. 

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой ( ), ее конкретные значения – строчными буквами ( ). 

Случайной величиной называется функция  , определенная на множестве элементарных событий  ,  . 

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. 

Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения. 

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. 

Пусть дискретная случайная величина   может принимать   значений:  . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений  . 

Закон распределения случайной величины 

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называетсязаконом распределения данной случайной величины. 

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где   – возможные значения случайной величины, а   – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем  . 

В простейших случаях закон распределения случайной величины   удобно задавать таблицей: 

Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины  , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями   с вероятностями, равными нулю. 

Случайные величины   и   называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины. 

Функция распределения случайной величины и ее свойства 

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения. 

Пусть   – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий  ,  , а   – произвольное действительное число. В общем случае функция   должна быть такова, чтобы для любых   событие  , состоящее в том, что случайная величина   попадает в интервал  , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность  . 

Тогда вероятность того, что   примет значение, меньшее, чем  , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины  , соответствующее значению аргумента  , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины   представляет собой вероятность события  , где   – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е.  . 

Рассмотрим функцию распределения   случайной дискретной величины  , принимающей значения  . 

• Если  , то  , так как в этом случае событие   является невозможным. 
  
• Если  , то событие   наступит тогда и только тогда, когда наступит событие  , поэтому   
  . 
  
• Если  , то событие   равно сумме событий  ,   и   
  . 
  
• Аналогично, если  , то  . 
  

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна  , где  , и суммирование производится по тем  , для которых  . 

Если дискретные значения случайной величины   расположены в порядке возрастания, то каждому значению   этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности  . 

В точках   функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства функции распределения 

1. Функция распределения принимает значения из промежутка  :  . 
   
2. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала  , равна разности  :  . 
   
3. Функция распределения – неубывающая функция, т.е.   при  . 
   
4. . 
   
5. Если  , то  . 
   
6. Если  , то  .

Никто не застрахован от проблем на дороге. Уралсиб лидер в области автострахования. Страхуйтесь и ездите спокойно! 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятности и математическая статистика

 

Задачи

1. входе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, найдите числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой.

Решение

Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли: pn(m) =  , где q=0,03 - вероятность неправильного счета, а p=1-q=1-0,03 = 0,97 - вероятность правильного счета. Получим

P (X=0) = p5(0) =    0,0000000243

P (X=1) = p5(1) =     0,000004

P (X=2) = p5(2) =     0,00025

P (X=3) = p5(3) =     0,0082

P (X=4) = p5(4) =     0,133

P (X=5) = p5(5) =     0,859

Сделаем проверку. Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно,

0,0000000243+0,000004+ 0,00025+0,0082+0,133+0,859=1

Распределение случайной величины X

X	0	1	2	3	4	5
P	0,00000002	0,000004	0,00025	0,0082	0,133	0,859

Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле

M (X) =  ,

Где   - возможные значения X, а   - соответствующие вероятности.

M(X) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+2*0,00025+3*0,0082+4*0,133+5*0,859 = 4,85

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

.

Так как

M(X2) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+4*0,00025+9*0,0082+16*0,133+25*0,859 = 23,68

То

D(X) = 23,68 – (4,85)2 = 0,155

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

Найдем функцию распределения вероятностей F(X).

Если х ≤ 0, то F(x) = 0

Если 0 ≤ х ≤ 1, то F(x) = 0*0,00000002

Если 1 ≤ х ≤ 2, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 = 0,00000402

Если 2 ≤ х ≤ 3, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025= 0,00025402

Если 3 ≤ х ≤ 4, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082= 0,00845402

Если 4 ≤ х ≤ 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133= 0,14145402

Если x > 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133+0,859 = 1

График функции 

Событие A, состоящее в том, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, является противоположным к событию, что все счета будут правильными, следовательно,

P(A) = 1 – P(X = 5) = 1-0,859 = 0,141

Вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, равна 0,141.

 

 

 

 

2.  Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением  и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Решение

Вероятность того, что число ежемесячных заказов превышает 12349:

P(|X|>12349) = 1 - P(|X|<12349) = 0,9

По определению, для вероятности P(|X|<12349):

P(|X|<12349) = Ф (

Где  - математическое ожидание, то есть ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц. По таблице функции Лапласа найдем Ф(х) = 0,1 , тогда х=0,25.

Тогда:

Ответ: 

 

3. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.

Решение

Для показательного распределения математическое ожидание МХ = . Тогда   Дисперсия длительности разговора равна:

DX = 

Вероятность того, что разговор, будет продолжаться более 3 мин, является противоположным к событию, что разговор продолжается менее 3 мин:

P(|X|>3) = 1 – P(|X|<3) = 1 - 

Вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты:

P{X<11|X>10} = 

Ответ:   DX ; P(|X|>3) = 0 ; P{X<11|X>10}