Некоторые приложения финансовой математики

Некоторые приложения финансовой математики. 

Конверсия валюты и начисление процентов. 

   Рассмотрим  совмещение конверсии (обмена) валюты и наращения простых процентов, сравним результаты от непосредственного  размещения имеющихся денежных средств  в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. При этом возможны 4 варианта наращения процентов: 

1. Без конверсии, когда валютные средства размещаются  в качестве валютного депозита, наращение  первоначальной суммы производится по валютной ставке путём прямого применения формулы простых процентов.
2. С конверсией, при это валютные средства конвертируются в тенге, наращение идёт по ставке в тенге, в конце операции сумма в тенге конвертируется обратно в исходную валюту.
3. Без конверсии, в этом случае сумма в тенге размещается в виде депозита в тенге, на который начисляются проценты по ставке в тенге по формуле простых процентов.
4. С конверсией, когда сумма в тенге конвертируется в какую – либо конкретную валюту и инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции вновь конвертируется в тенге.

 

   Операции  без конверсии не представляют сложности. В операции наращения с двойной  конверсией имеются два источника  дохода: начисление процента и изменение  обменного курса. Причём начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию не рассматриваем). Изменение обменного курса может, как быть источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Остановимся  на двух вариантах, предусматривающих двойную конверсию (варианты 2 и 4).

   Введём  обозначения:

P_v - сумма депозита в валюте,

P_r - сумма депозита в тенге,

S_v – наращенная сумма в валюте,

S_r – наращенная сумма в тенге,

K₀ – курс обмена в начале операции,

K₁ – курс обмена в конце операции,

n – срок депозита,

i – ставка наращения для тенговых сумм(в виде десятичной дроби),

j  - ставка наращения для конкретной валюты.

     Рассмотрим  варианты: 

ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ –> ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА.  

     Операция  состоит из трёх этапов: обмена валюты на тенге, наращение суммы в тенге, обратное конвертирование суммы в тенге в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит 

S_v=P_vK₀(1+ni)/K₁ 

     Как видим, три этапа операции нашли  своё отражение в этой формуле  в виде трёх сомножителей.

     Множитель наращения с учётом двойного конвертирования 

 

     Где k=K₁/K₀ – темп роста обменного курса за срок операции. Из данной формулы следует, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной – с обменным курсом в конце операции K₁ (или с темпом роста обменного курса k).

     Исследуем зависимость общей доходности операции с двойной конверсией от соотношения  конечного и начального курсов обмена k.

Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции, 

 

Подставляя  в эту формулу выражение для S_v, получаем: 

 

Из этой формулы следует, что с увеличением k доходность i_э падает. При k=1 доходность операции равна ставке в тенге, т.е. i_э=i. Величина i_э < i при k > 1 и i_э > i при k < 1. При некотором критическом значении k, которое обозначим как k^*, доходность операции равна нулю. Из равенства i_э=0 находим: 

k^*=1+ni, 

что означает 

K^*₁=K₀(1+ni). 

Таким образом, если ожидаемые величины k и K^*₁ превышают свои критические значения, то операция убыточна (i_э < 0).

     Определим максимально допустимое значение курса  обмена в конце операции K₁, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойного конвертирования не даёт никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций 

1+nj=(1+ni)K₀/K₁ 

Из полученного  равенства следует, что 

max K₁=K₀(1+ni)/(1+nj) 

или 

max k=K₁/K₀=(1+ni)/(1+nj). 

Таким образом, депозит валюты через конверсию в тенге выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K₁. 

Рассмотрим вариант: 

ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА –> ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ. 

     Это операция с двойной конверсией, когда исходная и конечная суммы в тенге. В этом случае трём этапам операции соответствуют три сомножителя для наращенной суммы: 

     

 

     Проведем  анализ эффективности этой операции и определим критические точки.

Доходность  операции в целом определяется по формуле 

 

Отсюда, подставив  выражение для S_r, получим 

 

Зависимость показателя эффективности i_э от k линейная, i_э=j при k=1, i_э>j при k>1, i_э<j при k<1.

Найдём  критическое значение k*, при которых i_э=0: 

k*=1/(1+nj) или K*₁=K₀/(1+nj). 

     Таким образом, если ожидаемые величины k или K₁ меньше своих критических значений, то операция убыточна (i_э<0).

     Минимально  допустимая величина k (темпа роста  валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в тенге, определяется путём приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства i_э=i): 

K₁(1+nj)/K₀=1+ni, 

откуда 

min k=(1+ni)/(1+nj) 

или 

min K₁=K₀(1+ni)/(1+nj). 

     Таким образом, депозит сумм в тенге  через конвертацию в валюту выгоднее депозита в тенге, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K₁.

     Рассмотрим  вариант совмещения конверсии валюты и наращения сложных процентов: 

ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ –> ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА.  

Три этапа операции запишем в одной формуле для  наращенной суммы: 

S_v=P_vK₀(1+i)ⁿ/K₁, 

где i – ставка сложных процентов.

Множитель наращения 

m=(1+i)ⁿK₀/K₁=(1+i)ⁿ/k, 

где k=K₁/K₀ – темп роста валютного курса за период операции.

     Определим доходность операции в виде годовой  ставки сложных процентов i_э. Из формулы наращения по сложным процентам 

S=P(1+i)ⁿ 

находим: 

 

Подставив в  эту формулу значение S_v, получим 

 

Из этого  выражения следует, что с увеличением  темпа роста k эффективность i_э падает.

     Анализ  показывает, что при k=1 i_э=i, при k>1 i_э<i, а при k<1 i_э>i.критическое значение k, при котором эффективность операции равна нулю, определяется как 

k*=(1+i)ⁿ, 

что означает равенство среднегодового темпа  роста курса валюты годовому темпу  наращения по ставке в тенге.

     Таким образом, если ожидаемые величины k или K₁ больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конверсией убыточна (i_э<0).

     Максимально допустимое значение k, при котором  доходность операции будет равна  доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке j, находится из равенства соответствующих множителей наращения: 

(1+j)ⁿ=(1+i)ⁿ/k_max, 

откуда 

k_max=(1+i)ⁿ/(1+j)ⁿ, max K₁=K₀(1+i)ⁿ/(1+j)ⁿ. 

     Таким образом, депозит валюты через конвертацию  в тенге выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце опреации ожидается меньше max K₁. 

Пример .

     Имеется сумма в евро, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс в начале операции  193 тенге за евро, в конце операции предполагается 197 тенге. Годовая ставка простых процентов по депозитам в тенге 17%, по валютным – 5%.

     Определить, как выгоднее разместить вклад: валютный или через конверсию в тенге.

Решение.

     При двойной конверсии: евро   тенге   тенге   евро   расчёт производим по формуле  с учётом того, что K₀=193, K₁=197: 

k=K₁/K₀=197/193=1,02,

i_э=[(1+0,5^.0,17)/1,02^.0,5]-1/0,5=0,13. 

     По  условию задачи, доходность валютного  депозита 5%, доходность операции с двойной  конверсией 13%. Следовательно, выгоднее разместить вклад в тенге. 

Пример .

     Имеется сумма в евро, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс в начале операции  193 тенге за евро, в конце операции предполагается 197 тенге. Годовая ставка простых процентов по депозитам в тенге 17%, по валютным – 5%.

Определить вид наиболее выгодного размещения вклада.

Решение.

Темп  роста обменного курса за срок операции

k=K₁/K₀=197/193=1,02.

По формуле  имеем: 

i_эфф=[1,02^.(1+0,5^.0,05)-1]/0,5=0,091 

Выгоднее разместить депозит в тенге. 

Погашение задолженности частями. 

     Контур  финансовой операции – это графическое изображение процесса погашения краткосрочной задолженности частичными (промежуточными) платежами. 

     Пусть ссуда в размере D₀ выдана на срок t. На протяжении этого срока в счёт погашения задолженности производятся два промежуточных платежа R₁ и R₂, а в конце срока выплачивается остаток задолженности R₃, подводящий баланс операции.