Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

      Построим  график данной функции (рис. 2): 
 
 
 
 

    Приведем  примеры заданий для самостоятельной  работы по исследованию функций.

        Исследуйте функцию и постройте ее график:

      1)

      2)

      3)

      4)

      5)

После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Производная и ее применение»

I вариант

1. Дана  функция  . Найдите:

      а) промежутки возрастания и убывания функции;

      б) точки экстремума;

      в) наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке  .

      2. Постройте график функции  .

      3. Составьте уравнение касательной  к графику функции  в точке с абсциссой .

      4. В какой точке касательная  к графику функции  параллельна прямой ?

      5. Найдите наибольшее и наименьшее  значения функции  на отрезке .

II вариант

1. Дана  функция  . Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки  экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке  .

2. Постройте  график функции  .

3. Составьте  уравнение касательной к графику  функции  в точке с абсциссой .

4. В  какой точке касательная к  графику функции  параллельна прямой ?

5. Найдите  наибольшее и наименьшее значения  функции  на отрезке [10].

 

§3. Типичные ошибки учащихся при исследовании функций

      При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое  число ошибок допускается при  построении графиков функции с использованием производной.

а) Пусть  требуется исследовать с помощью  производной функцию  и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1).

Таблица 1

      Покажем ошибочные эскизы графиков, которые  учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)

           

 

           

                                                            

      На  каждом из этих рисунков допущены грубые математические ошибки и происходят они из-за того, что учащиеся используют из таблицы лишь сведения о том, где функция возрастает и где убывает, и совершенно не берут во внимание существование производной функции в критических точках. В таблице 1 отмечено, что в точках, производная функции существует, а это означает, что в точках с этими абсциссами можно провести касательную. Тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю, означает, что в точках с этими абсциссами касательные к кривой должны быть параллельны оси Ox. Анализ рисунков 3,4,5,6 показывает, что указанное выше требование нарушено, а именно, на рисунке 3 нельзя провести касательную к кривой с абсциссой ; на рисунках 4 и 5 – в точках с абсциссами ; на рисунке 6 – в точках с абсциссами .

      Правильный  график функции  показан на рисунке 7.

 
 
 
 

      б) При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают  точек, в которых функция неопределенна. Приведем пример такой ошибки.

      Исследовать функцию  на монотонность.

      Часто учащиеся поступают так: ; находят точки, в которых производная равна нулю: ; затем, множество всех действительных чисел разбивают точкой на два промежутка находят знаки производной на каждом промежутке и делают затем ошибочный вывод о монотонности функции на каждом из этих двух промежутков.

      Поступать же надо было так. Множество всех действительных чисел следовало бы разбить на промежутки точками, в которых функция  не определена и точками в которых производная равна либо нулю, либо равна бесконечности, либо не существует. В данном случае мы получим три промежутка: . Знак производной функции на каждом из них отмечен на рисунке 8.

 
 
 

Ответ должен быть записан в следующем  виде:

      на  промежутке функция возрастает;

      на  промежутке функция убывает;

      на  промежутке функция возрастает.

      По  поводу записи ответа отметим следующее: если функция  непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку. Так, в нашем случае, в точке функция непрерывна, а значит промежутки могли бы быть записаны так: .

      в) Ряд ошибок связан с решением текстовых  задач на экстремум. Проанализируем эти ошибки.

      Очень часто учащиеся в процессе решения  задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают такой вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». Такое утверждение содержит ошибки, разберем суть этих ошибок.

       На рисунке 9 показан график такой функции, которая  на промежутке имеет одну точку максимума, но максимальное значение не является  

наибольшим; наибольшее значение функция достигает  в точке  .

       Учащиеся были бы почти правы, если бы они записали вывод в таком виде: «Функция на промежутке имеет один экстремум, который  максимум, тогда максимальное значение будет и наибольшим на данном промежутке». Этому утверждению соответствует  рисунок 10. 
 

 
 
 

      Но  и последнее утверждение содержит ошибку. На рисунке 9 показан график функции, которая на отрезке имеет одну точку экстремума, которая является точкой максимума, но максимальное значение не является на этом промежутке наибольшим; наибольшее значение достигается при .

 
 
 
 

      Обобщая проведенные рассуждения, вывод, сделанный  учащимися, должен быть таким: «Непрерывная функция имеет на промежутке одну точку экстремума, которая является точкой максимума, тогда это максимальное значение и будет наибольшим на указанном промежутке».

      Приведенных в работе примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися при изучении Алгебры и начал анализа, вполне достаточно, чтобы показать учителю насколько важно учить учеников, а им самим учиться, рефлексивно- оценочной деятельности, которая позволит устранить и предупредить подобного рода ошибки [5].

 

§4. План-конспект урока по теме «Производная и ее применение»

      Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Производная и ее применение».

      Тип урока: обобщения и систематизация знаний

      Структура урока:

      1. Постановка цели урока.

      2. Актуализация опорных знаний  и умений.

      3. Самостоятельная работа.

      4. Подведение итогов работы на  уроке.

      Оборудование  урока: 1. Рисунки. 2. Кодоскоп. Кодопозитивы.

      Выбор методов обучения. Основные методы − эвристические и репродуктивные.

Ход урока:

      1. Постановка цели урока.

      Учитель сообщает учащимся цель урока.

      2. Актуализация опорных знаний  и умений.

      На  данном этапе урока учащиеся сидят  по группам, соответствующим ими  выбранной тематике домашнего задания (количество учащихся в группе корректируется учителем по 5-6 человек). Столы стоят  таким образом, чтобы учащиеся могли  видеть доску. Четыре представителя  от каждой группы излагают у доски одну из задач, подобранных из различных пособий, и отвечают на вопросы:

1. Геометрический смысл производной.
2. Физический смысл производной.
3. Роль знака производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке.
4. Дать определение (в широком смысле) касательной, проведенной к графику данной функции через точку . Записать уравнение касательной.

      Пока  они готовятся, все учащиеся слушают  историческую справку, делая соответствующие записи в тетрадях.

      Заслушав  план решения каждой задачи, записанной на доске, учащиеся делают вывод о  том, что наиболее емкое применение производная находит при решении  различных задач и построении графиков функций.

      3. Самостоятельная работа.

      Учащимся  дается задание: «Исследовать функцию  и построить ее график»

      При фронтальной беседе с группами вырисовывается алгоритм решения задачи и чертеж к ней.

4.Урок  заканчивается подведением итогов  Учащимся дается домашнее задание:  найти в дополнительной литературе  задачи на применение производной  в других науках. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

      В курсовой работе рассмотрена методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной. Нами выполнен анализ содержания стандарта среднего (полного) общего образования по математике, учебника Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.. с точки зрения изучения функций и их исследования с помощью производной

      В работе показано применение общей схемы к  исследованию функций, разработаны задания для самостоятельной работы, контрольная работа.