Математическое моделирование экономических систем

Практическая  часть 

      Задача 1. Предприятие производит продукцию двух видов из сырья трех типов. Определить максимум прибыли от реализации с учетом ограничений. Доля сырья первого типа продукции первого и второго вида равны 1 ед. и 2 ед., запасы – 200 ед. Доля сырья второго типа – 1 ед. и 4 ед., запасы – 300 ед. Доля сырья третьего типа – 4 ед. и 1 ед., запасы – 600 ед. Прибыль от единицы продукции первого вида – 5 ед., второго вида – 6 ед. 

      Решение: 

      Сведем  исходные данные в таблицу: 

 

      Пусть Х₁ и Х₂ – количество изделий I и II вида. 

      Z (X) = 5Х₁+6Х₂ → max – целевая функция. 

      Запишем систему ограничений: 

      Х₁+2Х₂ ≤ 200

      Х₁+4Х₂  ≤ 300

      4Х₁+Х₂  ≤ 600 

      Условие неотрицательности: 

      Х₁ ≥ 0;  Х₂ ≥ 0 

      (1) Х₁=0, тогда Х₂=100;

            Х₂=0, тогда Х₁=200. 

      (2) Х₁=0, тогда Х₂=75;

            Х₂=0, тогда Х₁=300. 

      (3) Х₁=0, тогда Х₂=600;

            Х₂=0, тогда Х₁=150. 
 
 
 
 

      По  полученным координатам точек строим 3 прямые.

        

      Многоугольник ОАВСD содержит точки, которые являются допустимыми решениями, т.е. удовлетворяют системе ограничений и условию неотрицательности.

      Точка С многоугольника ОАВСD является экстремумом функции.

      Найдем  ее координаты, решив уравнения прямых, на пересечении которых она лежит, т.е. (1) и (2). 

      Х₁+2Х₂ ≤ 200

      Х₁+4Х₂  ≤ 300 

      Х₁= 200 – 2Х₂

      (200 – 2Х₂) + 4Х₂≤ 300

      Х₂ = 50

      Х₁ = 200 – 2·50 = 100. 

      Подставив в целевую функцию значения Х₁ и Х₂, определим максимальную прибыль: 

      Z (X)_max = 5Х₁+6Х₂ = 5·100+6·50 = 800 (руб.) 

      Ответ: Оптимальный выпуск продукции I вида – 100 изделий, II вида – 50 изделий, что позволяет получить максимальную прибыль, равную 800 руб. 

      Задача 2. Для двух текстильных предприятий (ТП) хлопок закупается случайно n₁ раз в течение квартала, при наличии хлопка на одном ТП –         n₂ раз. Хлопок перерабатывается на одном ТП за q₁ часть канала, на двух ТП в 2 раза быстрее. Прибыль для одного работающего ТП составляет π₁, при простое одно ТП терпит убытки в u₁ у.е. Определить среднюю прибыль двух ТП в стационарном режиме и в случае уменьшения времени переработки в R_t раз, если прибыль π₁ увеличивается в R_π раз. Принять решение о возможности уменьшения времени переработки.

      Дано:

          n₁ = 2;

          n₂ = 6;

          q₁ = 0,12;

          π₁ = 11;

          u₁ = 3;

          R_t = 1,7;

          R_π = 1.

      Решение:

      Интенсивность потока заявок, пришедших в систему

       ;

      Среднее время обслуживания

       ;

      Интенсивность потока обслуживания заявок

       ;

      Коэффициент загрузки СМО

       ;

      Определим вероятности двухканальной СМО:

      р₀ – оба канала свободны;

      р₁ – один канал свободен, один канал занят;

      р₂ – оба канала заняты.

       ;

       ;

       .

      Сумма вероятностей равна единице:

       .

      Определим среднюю прибыль:

       ,

       .

      В случае уменьшения времени переработки  в R_t раз, если прибыль π₁ увеличивается в R_π раз, получим:

       ;

       ;

       ;

       ;

       .

      Сумма вероятностей равна единице:

       .

      

      Рассчитаем  новую среднюю прибыль:

       ,

       .

      Ответ: В случае уменьшения времени переработки предприятие терпит убытки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 3. Найдите для получения максимальной прибыли за весь данный период времени управленческие решения о времени замены оборудования стоимостью С у. е., если прибыль от использования оборудования Р и затраты на его ремонт Z изменяются с течением        времени Т. 

Дано:

 

Решение: 

Определяем чистую прибыль от использования оборудования, расчеты сводим в таблицу 1: 

π = Р – Z

Таблица 1

 

Дальнейшие расчеты  приведены на рисунке 1. 

Ответ: Максимальный эффект использования  оборудования составит 20 у. е. при его  замене после первого, второго или  третьего года службы.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы 

      1. Бездудный Ф.Ф., Павлов А.П. Математические методы и модели в планировании текстильной и легкой промышленности: Учебник для вузов. – М.: Легкая индустрия, 1979.

      2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2006.

      3. Васильков Ю.В., Василькова И.Н.  Компьютерные технологии в математическом  моделировании: Учебное пособие  для вузов. – М.: Финансы и статистика, 2006.