Математические методы оптимизации ресурсов

решении которой возможна лишь одна из двух взаимоисклю-

чаемых  постановок: либо при заданных ресурсах максимизировать

получаемый  результат, либо при заданном результате минимизировать

используемые  ресурсы.

Если  через Q обозначить ресурсы, через R —результат их применения,

то при  заданных зависимостях результата и  потребных

ресурсов  от количества выпускаемой продукции  R =f(,xj); Q =fixj)

две постановки задачи распределения ресурсов можно  записать

следующим образом:

для первой постановки

для второй постановки

Значит, поставить ее можно в одном  из двух следующих вариантов:

либо  максимизирювать выпуск продукции  с заданного

оборудования, либо минимизировать количество оборудования,

используемого при вьшуске заданного объема продукции.

В общем  случае математическая модель задачи распределения

ресурсов  с числом переменных я и офаничений т имеет

следующий вид:

где Cj — коэффициенты в целевой функции; а^ — норма расхода /-го

ресурса для выпуска единицы у-й продукции; 6, —имеющийся ресурс; dj

и Dj — минимальное и максимальное допустимые значения Xj

Так как  в эту модель все переменные входят в первой степени,

т. е. все  зависимости являются линейными, то данную модель

называют  задачей линейного программирования. С помощью

этих  задач можно решать достаточно большой  класс задач распределения

ресурсов  не только в планировании и управлении

производством и экономическими объектами, но и  в проектировании

изделий и технологических процессов.

Если  сравнить систему (2.4) с общей постановкой  задачи оптимизации

(2.2), то  можно утверждать, что задача  линейного

программирования  представляет собой частный случай задачи

оптимизации в общем виде.

В современных  условиях рьшочных отношений при  дефиците

материальных  и финансовых ресурсов, несбалансированности производственных

планов  по номенклатуре, нормам расходов материалов и

сьфья возникают договорные, производственные, финансовые и

прочие  нарушения, корректировки планов, приписки и др.

Сбалансированность  планов по номенклатуре, заданным показателям

и ресурсам можно оперативно проверить с  помощью

моделирования на ЭВМ не спустя какое-то время, когда  обнаружатся

ошибки  и просчеты и когда изменить что-либо уже

трудно, а сразу же при решении задачи. При этом необходимо

опираться на достоверную нормативную базу, в частности, на

нормы расхода ресурсов на единицу выпускаемой  продукции.

Именно  математические модели позволяют проанализировать

причины несбалансированности планов и выявлять недостоверность

исходных  данных.

Чем же может помочь ЭВМ в анализе  несбалансированных задач?

1. Решая  задачу распределения ресурсов  на ЭВМ, до получения

окончательного  результата нам неизвестно, сбалансирована

она или  нет. Однако, если существует подозрение, что задача

может оказаться несбалансированной, то имеет  смысл сразу же

так составить  математическую модель, чтобы она  учитывала

возможную недостачу ресурсов.

2. Если  нам желательно минимизировать  дополнительные

ресурсы у,- при получении прибыли от производства и выпуска

продукции, то целевую функцию следует записать с учетом

этого условия

а условие  получения прибыли включить в  состав ограничений.

Результаты  решения подобных задач на ЭВМ  позволяют

промоделировать возможные ситуации и определить, сколько и

какие ресурсы требуются и каким  станет план, если полностью

изыскать  необходимые дополнительные ресурсы. Конечно, ЭВМ

не может  заменить недостающие ресурсы, но она  позволяет при

составлении полной и корректно сформулированной математической

модели  показать, что необходимо осуществить, чтобы

выполнить несбалансированный план. Польза от такого анализа

несомненна  в любых ситуациях.

В общем  преодолеть несбалансированность производственного

плана можно или увеличением ресурсов при возможности

их изыскания, а при невозможности добавления дополнительных

ресурсов  путем уменьшения нижнего предела  выпуска продукции,

или сокращения норм расходов каждого ресурса на выпуск

единицы продукции. Если удастся преодолеть несбалансированность

планов  за счет увеличения ресурсов или снижения

выпуска продукции и расхода ресурсов, то план производства

будет обоснованным, и такие планы нужно  выполнять.

Определение координат вершин области допустимых решений

(ОДР)  в реальных задачах со многими  переменными и ограничениями

связано с очень большими объемами вычислений. Поэтому

для аналитического решения задач линейного профамми-

рования разработан специальный алгоритм направленного  перебора

вершин, называемый симплекс-методом, с переходом от

одной вершины к другой в направлении, при котором значение

целевой функции от вершины к вершине  улучшается. Определе-

йие значения целевой функции и переменных в одной вершине

считается и т е р а ц и е й . Число итераций зависит от числа

искомых переменных и в реальных задачах  может измеряться

сотнями. Вручную с помощью симплекс-метода можно решать

задачи, Содержащие не более десяти переменных. В реальных

ситуациях без ЭВМ и прикладных профамм  вычислений поиск

оптимального  решения практически невозможен.

Так как  оптимальное решение задачи линейного  профамми-

рования соответствует вершине ОДР, то можно  сформулировать

следующие выводы:

,1) если  оптимальным решением являются  координаты вершин

ОДР, то сколько вершин имеет ОДР, столько  оптимальных

решений может иметь задача;

2) чем  больше существует офаничений  в модели задачи, тем

больше  будет число вершин и, следовательно, число оптимальных

решений;

3) введение  дополнительных ограничений никогда  не улучшает

оптимального  решения (этот вывод особенно важен  для

практики  планирования: если мы хотим улучшить принятую целевую

функцию, т. е. результат работы, мы должны стремиться к

тому, чтобы  иметь как можно меньше ограничений).