Линейное программирование

Министерство  образования и науки Российской Федерации.

ГОУ ВПО ТюмГАСУ. 
 
 
 
 
 
 

Расчётно-графическая  работа по теме:

Линейное  программирование. Вариант №1. 
 
 
 

Выполнила: студентка К-09-1 Соколова К.В.

Проверила: доцент, К.Т.Н. Карякина С.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тюмень 2010

Задание №1.

Найти наибольшее и  наименьшее значение целевой функции  в заданной области. 

Z=-x₁+2x₂                  в области             , для x_j≥0 

Решение:

1) 3x₁-x₂=-2

 -x₂=-2-3x₁

x₂=2+3x₁

 

(0;0)=>0≥-2

2 )x₁+x₂=4

X₂=4-x₁

 

(0;0)=>0≥4 (н/в)

3)2x₁+x₂=10

X₂=10-2x₁

 

(0;0)=>0≤10

4)Z’_x1=-1

Z’_x2=2

gradz={-1;2}

5)точка А-точка пересечения прямых (1) и (3). 

2+3x₁=10-2x₁

3x₁+2x₁=10-2

5x1=8

X₁=1,6

X₂=2+3x₁

X₂=2+3*1,6

X₂=6,8 

A (1,6;6,8)

z_max(1,6;6,8)=-1,6+2*6,8=12

6)точка В-точка пересечения прямых x₂=0 и (3). 

0=10-2x₁

2x₁=10

X₁=5 

B (5:0)

7)z_min(5;0)=-5+2*(0)=-5

Ответ: Наибольшее значение функции=12. Это значение достигается  в точке A (1,6;6,8).

Наименьшее значение функции=-5. Это значение достигается в точке В (5;0).

 

Задание №2.

Составить математическую модель экономической задачи и найти  её решение.

a₁=20; a₂=12; a₃=5; b₁=15; b₂=24; b₃=5; c₁=630; c₂=510; c₃=220; a=8; b=12.

Экономическая задача: для производства двух видов  продукции А и В используют три вида сырья с запасами соответственно с1, с2, с3 кг. На изготовление единицы продукции вида А расходуется а1 кг сырья первого вида, а2 кг второго и а3 третьего вида. На изготовление единицы продукции В расходуется в1,в2 и в3 кг сырья каждого вида соответственно. От реализации единицы готовой продукции видов А и В получают прибыль а и в денежных единиц соответственно. Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции.

Решение:

1)z=16x₁+14x₂ (целевая функция)

  (математическая модель)

2)20x₁+15x₂=630

15=630-20x₁

X₂=42-1x₁

 

(0;0)=>0≤630

2)12x₁+24x₂=510

24x₂=510-12x₁

X₂=21,25-0,5x₁

 

(0;0)=>0≤510

3)5x₁+5x₂=220

5x₂=220-5x₁

X₂=44-x₁

 

(0;0)=>0≤220

3) Z’_x1=8

Z’_x2=12

gradz={8;12}

4)точка А-точка пересечения прямых (1) и (2). 

42-1x₁=21,25-0,5x₁

0,5x₁-1x₁=21,25-42

x₁=20,75|*30

25x₁=622,5

X₁=24,9

X₂=21,25-0,5*24,9=8,8 

A(24,9;8,8)

5)z_max(24,9;8,8)=8*24,9+12*8,8=199,2+105,6=304,8

Ответ: В данных условиях максимальная прибыль равна 304,8 денежных единиц. Для её получения необходимо выпустить 24,9 кг продукта А и 8,8 продукта В.