Контрольная работа по "Теория вероятности"

 В коробке  находятся 7 синих, 6 красных и 7 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 16 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет 6 синих и 4 красных.

Решение

Всего имеем  N=7+6+7=20 карандашей. Мы имеем дело с сочетанием. Так как стоит предлог и, будем умножать.

Всего число  испытаний равно

Число благоприятствующих исходов равно

По классическому  определению вероятности

Вероятность того, что среди вынутых 16 карандашей будет 6 синих и 4 красных равна

0,02 

Ответ:0,02 

В первой урне находятся  7 шаров белого и 3 шаров черного цвета, во второй — 8 белого и 5 синего, в третьей — 6 белого и 6 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

Решение

Событие А - шар, вынутый из третьей урны, оказался белым.

Гипотеза Н1 - из первой и второй урны в третью переложили по белому шару

Гипотеза Н2 - из первой урны в третью переложили белый шар, а из второй – синий шар

Гипотеза Н3 - из первой урны в третью переложили черный шар, а из второй – белый  шар

Гипотеза Н2 - из первой урны в третью переложили черный шар, а из второй – синий шар

После перекладывания в третьей урне стало 8 шаров. Условные вероятности события А:

По формуле  полной вероятности

 

Ответ: 0,574 

 Вероятность  попадания стрелка в мишень  при одном выстреле равна 0.8. Производится 7 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Решение  

Используем формулу  Бернулли

 

Ответ: 0,852 
 

 Случайная  величина Х равна числу появлений «герба» в серии из 6 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).

Решение

Вероятность появления  герба равна р=0,5.

Возможны следующие  варианты появления герба: 0,1,2,3,4,5,6

Для определения  вероятности наступления каждого  события используем формулу Бернулли

Закон распределения

 

Проверка

Функция распределения

Математическое  ожидание

Дисперсия

График функции  F(X) 

 
 
 

2. Закон распределения  дискретной случайной величины X имеет вид:

 
 

Найти вероятности  p₄, p₅, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=2,3

Решение

Математическое  ожидание

Получаем систему

Закон распределения  дискретной случайной величины X имеет вид: 

 

Дисперсия

 
 

3. Плотность распределения непрерывной случайной  величины X имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) функцию распределения F(x);

в) вероятность  попадания случайной величины X в интервал ;

г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

Построить график функций  и F(x). 

Решение

а) параметр a находим, используя следующее свойство плотности распределения

 

Тогда

Имеем,

 

б) функция распределения  F(x)

при

при

при

 

в) вероятность  попадания случайной величины X в интервал

Вероятность не может быть больше 1. Здесь такое  значение получается из-за того, что верхняя граница интервала выходит за область интервала для функции распределения.

г) математическое ожидание МХ и дисперсию ДХ

математическое  ожидание МХ

дисперсия DХ

 

Построить график функций f(x) и F(x)

 
 

 
 
 

Случайные величины имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания Mξ_i=8, а дисперсия Dξ₁=3. Найти вероятности: а) ; б) в) ;

Решение

А)

При равномерном  распределении

При показательном  распределении

М(Х)=nр=8

D(X)=npq=3

p=8/n

8q=3

q=3/8=0.375

p=1-3/8=5/8=0.625

 

При пуассоновском  распределении

М(Х)=λ=8

б) ;

При равномерном  распределении

При показательном  распределении

М(Х)=nр=8

D(X)=npq=3

p=8/n

8q=3

q=3/8=0.375

p=1-3/8=5/8=0.625

 

При пуассоновском  распределении

М(Х)=λ=8

 

в) ;

При равномерном  распределении

При показательном  распределении

М(Х)=nр=8

D(X)=npq=3

p=8/n

8q=3

q=3/8=0.375

p=1-3/8=5/8=0.625

При пуассоновском  распределении

М(Х)=λ=8