Контрольная работа по "Теории вероятностей"

  Вариант 2

  1. В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Один за другим вынимаются все имеющиеся в нём шары. Найти вероятность того, что последний шар будет чёрным. 

  Решение: 

  Обозначим: А – событие, заключающееся в том, что последний извлеченный из ящика шар – черный.

  Вероятность испытания, заключающегося в том, что  последний извлеченный шар –  черный, равна вероятности обычного испытания, заключающегося в извлечении из ящика одного шара:

  Тогда данное испытание имеет 6 равновозможных исходов: ,

  Из них благоприятствуют событию А элементарных исхода.

  Тогда, используя классическое определение  вероятности, имеем:

  

   - вероятность того, что последний извлеченный шар будет чёрным.

  Ответ:  
 

  2. В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий местного производства. Товаровед наудачу выбирает 3 изделия. Какова вероятность того, что все 3 изделия окажутся:

  а) местного производства; б) не местного производства. 

  Решение: 

  а) Вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся местного производства,

    найдем по формуле:

   , где

   - число способов, которыми можно  извлечь 3 изделия местного производства из 20 (это благоприятные исходы)

   - - число способов, которыми можно  извлечь 3 изделия из 30, (это все  возможные исходы).

   ,

  Вычисляем:  ,

  

  Тогда : - вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся местного производства. 

  б) Вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся не местного производства,

    найдем по формуле:

   , где

   - число способов, которыми можно извлечь 3 изделия не местного производства из 30-20=10 (это благоприятные исходы)

   - - число способов, которыми можно  извлечь 3 изделия из 30, (это все  возможные исходы).

   ,

  Вычисляем:  ,

    

  Тогда : - вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся не местного производства. 

  Ответ: а)   б)  
 
 

  3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01, 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсимильном сообщении имя клиента было неразборчиво. Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой-то банк? 

  Решение: 

  Обозначим через А событие «кредит не возвращен»

  Выдвинем  гипотезы:

  H₁ – кредит не возвратили государственные органы.

  H₂ – кредит не возвратил какой-то  банк.

  H₃ – кредит не возвратили физические лица. 
 

  Вероятности гипотез H₁  , H₂ и H₃  согласно условию, равны

     , ,  тогда

  Условные  вероятности события А при  этих гипотезах, согласно условию  равны

    , ,  

  Тогда используем формулу полной вероятности:

  

    - вероятность того, кредит не будет возвращен.

  Вероятность того, что кредит не возвратил какой-то банк, найдем по формуле Байеса: 

    

  Ответ:  
 
 

  4. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной кости? 

  Решение: 

  Обозначим через А событие «на игральной  кости выпало 6 очков »

  Вероятность этого события определяется следующей  формулой:

   , где – число всех равновозможных исходов (выпадение 1,2,3,4,5, и 6 очков) , -  число благоприятных исходов (выпадение 6 очков).

  Тогда  

  Выпадение при трех бросаниях хотя бы двух шестерок означает выпадение двух или  трех шестерок.

  По  теореме сложения вероятностей:

   

  Для того, чтобы найти вероятность  выпадения двух и трех шестёрок при трёх бросаниях игральной кости, воспользуемся формулой Бернулли

   ,   где 

  В нашем случае: ,

  вероятность обратного события:

   , ,

  Вычисляем: 

  

  Тогда: - вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной кости

  Ответ:  
 

  5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян: а) прорастёт ровно 700; б) число проросших заключено между 790 и 830. 

  Решение: 

  а) Найдем вероятность того, что прорастет ровно 700 семян:

  Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

   ,   

  Вычислим: 

    и можно считать  ,

  Т.е. вероятность события,  что из 900 посаженных семян прорастет ровно 700, близка к нулю. 

  б) Найдем вероятность того, что число проросших семян заключено между 790 и 830:

  По  условию: - вероятность всхожести семян,

    ,  ,

  Так как значения и велики, воспользуемся неравенством Чебышева:

  Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет меньше некоторого числа :

  

  В нашем случае:

  

  Граничные значения , симметричны относительно , поэтому от неравенства можем перейти к неравенству

                

  Или , сравниваем с и получаем:

  

  Значение  найдем по формуле: , где

  

  

  Тогда : 

          ,

  Т.е.

  Ответ:  а)  , б)   
 

  6. Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной ставкой г под залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X - случайная величина с МХ=а, a>r, DX=<72. Какова вероятность того, что инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости? Указание. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<г).

  Решение:

  Предположим, что инвестор взял денег и на все эти деньги купил ценные бумаги. Тогда он должен отдать .

    Получит же инвестор от прибыли  ценных бумаг   .

  Инвестор  не сможет он вернуть долг, в том  случае, если N*(1+X) < N*(1+r), или X < r.

    или 

Событие влечёт событие . Вероятность   можно оценить по неравенству Чебышёва:

               

  По  условию  , тогда:

   - оценка вероятности события,  состоящего в том, что инвестор  не сможет вернуть долг.

  Ответ:  
 

  7. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены независимы, рассчитайте:

  а) вероятность того, что за три месяца цена станет равной от первоначальной;

  б) вероятность того, что затри месяца цена станет равной от первоначальной.

  Решение:

  По  условию:

    - вероятность того, что в один отдельный месяц цена возросла на 1%

   - вероятность того, что в один  отдельный месяц цена упала на 1%

    - количество месяцев

  Обозначим - количество месяцев, в которые цена росла,

  Тогда:

  а) Цена стала равной от первоначальной – значит, цена росла три месяца.

  Воспользуемся формулой Бернулли:

   ,   где 

  

    – вероятность того, что за три месяца цена станет равной от первоначальной.