Контрольная работа по "Экономической математике"

1. На капитал в 3 млн. руб. в течение 3 лет осуществляется наращение простыми процентами по учетной ставке 15%. Найти приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.

Решение.

Наращенная сумма:

 где Р - первоначальная сумма долга;

S - наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока;

d – учетная ставка (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

За первый год наращение:

За второй год:

За третий год:

Общая наращенная сумма:

 млн. руб.

Ответ: за первый год первоначальный капитал увеличился на 0,529 млн. руб., за второй год – на 0,756 млн. руб., за третий год – 1,169 млн. руб. Общая наращенная сумма составила 5,455 млн. руб.

 

2. Вкладчик хотел бы за 5 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каждые полгода?

Решение.

Воспользуемся формулой сложных процентов с наращением m раз в году:

где N - общее количество периодов начисления (N = mn);

m - количество раз начисления процентов, в году.

Получим: S = 3Р, так как вкладчик хочет утроить сумму.

Ответ: годовая номинальная  процентная ставка, предложенная банком, должна быть 23,2%.

 

3. На вклад ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 16%. За какой срок первоначальный капитал увеличится в 4 раза? Чему будет равна эффективная ставка эквивалентная номинальной?

Решение.

Воспользуемся формулой сложных процентов с наращением m раз в году:

где N - общее количество периодов начисления (N = mn);

m - количество раз начисления процентов, в году.

Получим: S = 4Р, так как первоначальный капитал должен увеличится в 4 раза.

Эффективная ставка –  это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что  и m - разовое начисление процентов по ставке j/m.

По определению множители  наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу (N = mn):

Ответ: первоначальный капитал увеличится в 4 раза приблизительно за 9 лет.

Эффективная ставка эквивалентная номинальной равна 17,2%.

 

4. На вклад в 210 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые два года равна 8%; в следующие три года – 9%; и в каждый оставшийся год увеличивается на 0,5%.

Решение.

Для того, чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, силу роста обозначают, как δ,  тогда:

Получим:

Ответ: наращенная сумма  за 7 лет составит 392,33 тыс. руб.

 

6. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П₁ и П₂ равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта П₁ – 2 руб., П₂ – 3 руб. Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

Решение.

Составим таблицу:

	Продукты		Ограничения
	П1	П2
Белки, усл.ед	0,2	0,1	120
Жиры, усл.ед.	0,075	0,1	70
Витамины, усл.ед.	0	0,1	10
Стоимость 1 ед. продукта	2	3

 

Пусть х₁ – количество единиц продукта П₁;

х₂ – количество единиц продукта П₂.

Тогда целевая функция  оптимизационной модели будет иметь  вид:

Z = 2x₁ + 3x₂ → min

Система ограничений  оптимизационной модели имеет вид:

0,2x₁ + 0,1x₂ ≥ 120

0,075х1 + 0,1x₂  ≥ 70

0,1x₂ ≥ 10

Так как количество единиц продукции не может быть отрицательным, то накладываем ограничения:

x₁ ≥ 0; x₂ ≥0

Тогда математическая модель, позволяющая организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ, будет иметь вид:

Z = 2x₁ + 3x₂ → min

0,2x₁ + 0,1x₂ ≥ 120

0,075х1 + 0,1x₂  ≥ 70

x₂ ≥ 100

x₁ ≥ 0; x₂ ≥0