Федеральное агентство связи 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

По  дисциплине: Алгебра  и геометрия

                                    
 
 
 
 

                                      Выполнил: Шевыряев А.Н.

                                      Группа: СДТ-03

                                      Вариант:6

                                            
 

                                      Проверил: ___________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 

Новосибирск, 2010 г 

Задача 1. Дана система  трех линейных уравнений. Найти решение  ее двумя способами: методом Крамера  и методом Гаусса.

1. Решение системы  методом Крамера.

 

Формулы Крамера:  

 

Найдем значения неизвестных:

 

Выполним проверку:

 

2. Решение системы  методом Гаусса.

Составим расширенную  матрицу системы:

Выполним преобразования:

1. умножим первую строку на (-2) и сложим со 2-й строкой матрицы;
2. умножим первую строку на (-3) и сложим с 3-й строкой матрицы;
3. умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 3-й строкой матрицы.

 

В результате получили матрицу системы треугольного вида.

Запишем итоговую систему: 

 

Найдем значения неизвестных:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1. длину ребра ;
2. угол между ребрами и ;
3. площадь грани ;
4. уравнение плоскости .
5. объём пирамиды .

Решение.

 Рисунок  1.

 

1. Длина ребра  равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и  вычисляется по формуле . Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

 
 

2. Угол между  ребрами будем искать, используя  формулы векторной алгебры:

В нашем случае:

Чтобы найти  координаты вектора, из координат конца  вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

3. Площадь грани можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах  и численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае

4. Уравнение плоскости  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

;

;

Полученное  уравнение является уравнением плоскости .

5. Объем пирамиды  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное  произведение векторов :