Комплексные соединения

= i⁴ ∙ i = 1 ∙ i = i; i⁶ = i⁵ ∙ i = i ∙ i = – 1. Вообще, i^{4n + k} = (i⁴)ⁿ ∙ i^k = 1ⁿ ∙ i^k. 

4

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

      Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z² = a, где a – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:  

1) имеет  один корень  z = 0,  если a = 0;

2) имеет  два действительных корня   z_1,2 = ± , если a > 0;

3) не  имеет действительных корней, если  a < 0;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

          Вообще уравнение  z² = a, где a < 0 имеет два комплексных корня:  z_1,2 =± i.

          Используя равенство i² = –1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i = 2i, = i .

     Итак, определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az² + bz + c = 0, где a, b, с – действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:  

z_{1, 2} = .

     Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

     Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики – формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x³ + px + q = 0:

.

     По  видимому, эту же формулу ранее  получили Сцепион дель Ферро и Николо Фонтане (Тарталья), но первым опубликовал эту формулу именно Кардано. 

5

ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

      Наглядно  представить мнимые числа пытались ещё в XVIII веке.

      В 1799 г. датский математик Каспар Вессель  предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной. В 1806 г. швейцарец Жан Агран высказал похожую идею. Но широкое распространение эта интерпретация получила  лишь через три десятка лет, когда Карл Фридрих Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое изображение комплексных чисел, как Вессель и Агран. Больше всего меня поразило то, что практически одновременно, независимо друг от друга трое учёных предложили одну и ту же идею. Это говорит о том, что идея буквально витала в воздухе. Вообще, именно это открытие способствовало дальнейшему развитию учения о комплексных числах: стала возможна тригонометрическая запись числа, и, как следствие, намного удобнее стали возведение в степень и извлечение корня.

      Точками на числовой оси можно представлять как действительные, так и мнимые числа (но только не на одной и той  же оси). Значит, чтобы одновременно изобразить действительные и мнимые числа нужно взять сразу две оси. Назовём их действительной осью и мнимой осью и расположим перпендикулярно. Для определённости выберем положительное направление действительной оси вправо, а мнимой – вверх.

       Теперь можно  наглядно представить операции сложения и вычитания комплексных чисел с помощью векторов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Аргумент  комплексного числа. Когда я изображал комплексно-сопряжённые числа как вектора, возникла неопределённость, так как углы между соответствующими сопряжённым числам векторами равны. Во избежание этой неопределённости необходимо ввести понятие направления измерения угла и как следствие – отрицательные углы. Направление от положительной полуоси против часовой стрелки значение угла принято считать положительным, а против – отрицательным. Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают так: φ = arg z. Обычно он измеряется не в градусах, а в радианах. Но и аргумент не полностью устраняет неопределённость. Выходит, если φ – аргумент комплексного числа, то и φ + 2πk (k = 0, ±1, ±2, …). Но эту неопределённость устранять не стоит (она понадобилась мне для извлечения корня из комплексного числа).

Модуль  комплексного числа. Я заметил одну интересную закономерность. Если каждое действительное число имеет только одно число с таким же модулем, то комплексные числа имеют бесконечное множество чисел с одинаковым модулем. Действительно, если взять точку M, соответствующую числу z = a + bi на координатной плоскости, провести к ней радиус-вектор, а потом провести окружность радиуса |z| = с центром в точке O, то будет видно, что все числа, имеющие такой же модуль |z| = , будут лежать на этой окружности.

Тригонометрическая  форма записи комплексных  чисел.

 
 
 
 
 

Я взял произвольное комплексное число z = a + bi и изобразил его в виде радиус-вектора на комплексной плоскости. Пусть N – проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна . Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | ∙ cos φ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ,

где φ – аргумент комплексного числа z. Таким образом,

z = a + bi = | z | ∙ cos φ + | z | ∙ sin φ ∙ i = | z | ∙ (cos φ + i sin φ).

Произведение  двух комплексных чисел z₁ = | z₁ | ∙ (cos φ₁ + i sin φ₁) и

z₂ = | z₂ | ∙ (cos φ₂ + i sin φ₂) будет равно:

z₁ ∙ z₂ = | z₁ | | z₂ | (cos φ₁ + i sin φ₁) (cos φ₂ + i sin φ₂) =

= | z₁ | | z₂ | ((cos φ₁ cos φ₂ – sin φ₁ sin φ₂) + i (sin φ₁ cos φ₂ + cos φ₁ sin φ₂)) =

= | z₁ | | z₂ | (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)).

При умножении комплексных  чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить.

При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть  аргументы. 

6

ВОЗВЕДЕНИЕ  В СТЕПЕНЬ И  ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ  ИЗ КОМПЛЕКСНОГО

ЧИСЛА

      Я возвёл комплексное число z = r ∙ (cos φ + i sin φ) в степень n:

zⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ).

      Это выражение назвали формулой Муавра – в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701 г.

      При n = 1, я получил zⁿ = rⁿ (cosφ + i sinφ)ⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ).

      То есть rⁿ (cosφ + i sinφ)ⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ), или, если разделить на     rⁿ ≠ 0: (cosφ + i sinφ)ⁿ = (cos nφ + i sin nφ).

      Этой  формулой можно воспользоваться  для выражения синусов и косинусов  аргумента nφ через синусы и косинусы аргумента φ. Для этого я применил к левой части формулу бинома Ньютона и учёл формулы для степеней числа i. Получается, что

Отсюда  следуют равенства

Суммирование  ведётся до тех пор, пока показатель при cos φ не обратится в 0 или в 1 (в зависимости от чётности n). Поскольку в выражение для cos nφ входят лишь чётные степени sin φ, то их можно выразить лишь через cos φ. Для sin nφ при нечётном n можно получить выражение лишь через sin φ, а при чётном n – в виде произведения cos φ на выражение от sinφ. 

Извлечение  корня из комплексного числа. Как и для действительных чисел, корнем n-й степени из комплексного числа z, где n – натуральное число, называют такое комплексное число w, что wⁿ = z. Корень n-й степени из z обозначают . Я приведу доказательство, что из любого комплексного числа z можно извлечь корень n-й степени, причём если z ≠ 0, то принимает n различных значений.

Я записывал числа в тригонометрической форме.

Пусть z = r (cos φ₁ + i sin φ₁). Число w я искал в виде w = R (cos φ₂ + i sin φ₂). Равенство wⁿ = z принимает вид:

Rⁿ (cos nφ₂ + i sin nφ₂) = r (cos φ₁ + i sin φ₁).

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым, кратным 2π. Значит,

Rⁿ = r,

nφ = φ + 2πk, k

Z.

итак, для  модуля R искомого числа я получил определённое значение. Что же касается аргумента φ этого числа, он может принимать различные значения в зависимости от значения числа k. Я выяснил, при каких значениях k₁ и k₂ получаются значения φ, отличающиеся друг от друга на кратное 2π (т. е. одинаковые значения w). Для этого разность

должна  быть кратна 2π. Это имеет место  тогда и только тогда, когда k₁ – k₂ делится на n. Отсюда следует, что при r ≠ 0 значениям k = 0, 1, …, n – 1 соответствуют различные значения корня, а k = n даёт то же значение корня, что и при k = 1 и т. д. Число различных значений корня равно n.

      Таким образом, я доказал утверждение:

      Теорема. Для любого натурального числа n и любого отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-й степени.

      Если  z = r (cos φ + i sin φ), то эти значения выражаются формулой

,

где k = 0, 1, …, n – 1.

      Все точки w_k лежат на окружности радиусом с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются на , а потому указанные точки делят окружность на n равных частей. Иными словами, они являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность. 

7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      В общем, я считаю, что цель и задача моего проекта выполнены. Я сам освоил тему и создал наглядное пособие, чтобы облегчить учащимся её изучение и проверку усвоения материала. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме, общался с научным работником, который занимается этой темой профессионально и т.д. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые доказательства теорем по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

      К достоинствам моего учебника можно  отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

      Я считаю мой учебник полезным и  актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы, для тех из них, кто планирует учиться в техническом ВУЗе и в дальнейшем работать по технической специальности.

      В ходе исследования я провёл элективный курс для учащихся 11 Б класса прошлого года (25 человек) из 5 занятий и после этого проверил успеваемость и степень усвоения материала. Результат можно видеть на диаграмме: 
 
 
 
 
 
 
 
 

Из программы  средней школы тема "Комплексные  числа" исключена, но в гимназии существует элективный курс "Дискретная математика", составной частью которого являются комплексные числа. Моё пособие будет хорошим подспорьем учителям в ходе преподавания, а также всем желающим самостоятельно изучить данный раздел математики. 

8

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика. Энциклопедия для детей под  редакцией М. Д. Аксёновой. –  Москва-2000.

2. Алгебра  и математический анализ для  11 класса под редакцией Н. Я.  Виленкина. – Москва-1996.

3. История  математики в школе под редакцией  Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

4. Избранные  вопросы математики под редакцией  И. Н. Антипова. – Москва-1979.

5. За  страницами учебника математики  под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.