МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт  математики и компьютерных наук

Кафедра математики и информатики 
 
 
 

Курсовая  работа

«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций» 
 
 

Выполнил:

  студентка 362 группы

Латфуллина  Р.А. 

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент

Шармина Т.Н. 
 
 
 

Тюмень - 2010

Содержание

 

Введение

     Данная  курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.

     Тригонометрические функции являются важной составной  частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.

     Объектом  нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.

     Целью курсовой работы является изучение и  анализ различных способов определения  тригонометрических функций.

     Для достижения цели мы поставили следующие  задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.

     Курсовая  работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

     В главе 1 излагается способ построения теории функций  , , основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.

     Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.

     Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.

 

Глава1. Функции  , как решения некоторых задач Коши

 

     Для линейного однородного дифференциального  уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.

     Теорема1. Дифференциальное уравнение

      ,

где ; ; ; , имеет на единственное n-кратно дифференцируемое решение , удовлетворяющее условиям

     

(здесь - произвольно заданные фиксированные действительные числа).

     Очевидно, что это решение обладает на непрерывными производными всех порядков.

     В частности, когда  , указанное в теореме 1 решение тривиально ( на ). 

     Рассмотрим  следующие две задачи Коши:

      ,     ,     ;                                                          (1)

      ,     ,     ,                                                          (2)

где ; ; . Их решения обозначим соответственно через и . Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём , . Однако основные свойства функций , установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2). 

1. ,       ( ).

     Действительно, так как и - решения уравнения , то , , откуда , . Это значит, что каждая из функций , также являются решением уравнения . При этом решения и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: , . Следовательно, по теореме существования и единственности на , т.е. для .

     Аналогично  убеждаемся и в справедливости соотношения

           ( ). 

2. Функция нечётная, а чётная.

     Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с ) симметричны относительно точки . Покажем теперь, что и при любом .

     Вводя в рассмотрение функции  и (тогда , ) и учитывая свойство 1, будем иметь:

      ,

      ,      ;

      ,

            .

     Таким образом, функции  и являются решением одной и той же задачи Коши , , . Поэтому (согласно теореме 1) на  , т.е. для любого .

     Подобным  же образом убеждаемся, что функция  является решением задачи Коши , , , следовательно, на . 

3. Имеет место  тождество       .

     Доказательство. Полагая  и используя свойство 1, находим

           ( ),

Вследствие  чего на . А так как , то на , т.е. на .

     Замечание. Из свойства 3 следует, что функции и ограничены, причём , для любого . 

4. Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций и ):

             ( )                                          (3)                                                             Доказательство. Введём в рассмотрение функции

       

Считая (без ограничения общности) постоянной, а переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как , :

так что 

     (на  ),

     Аналогично

            (на ), , .

     Следовательно, согласно теореме 1, и на . Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения. 

     Замечание. Пологая в формулах (3) , получаем следующие формулы удвоения:

      ,          ( ).

Отсюда  с учётом свойства 3 получаем:

,          ( ). 

      Изучим  теперь вопрос о нулях функций , , т.е. о корнях уравнений , . Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий , будем называть её положительным нулём.

      Так как  , то число является одним из нулей функции .

      Лемма1. Хотя бы одна из функций , обладает по крайней мере одним положительным нулём.

      Доказательство. Предположим (от противного), что уравнения , положительных решений не имеют. Тогда на функции и знакопостоянны. Действительно, если бы функция или в некоторых точках принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между и , в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.

      Учитывая, далее, что  , заключаем, вследствие непрерывности , что положительна в некоторой окрестности точки , и, следовательно, на .

      Функция возрастает на , так как на , а поскольку , то на . С учётом свойства 3 и положительности функций , на имеем

      

т.е. для любого . Очевидно, сто последнее неравенство верно и при . Интегрируя почленно это неравенство по промежутку , где - любое положительное число, большее двух, получаем

      

т.е. вопреки выбору числа . Полученное противоречие и доказывает лемму. 

     Лемма2. Функция имеет хотя бы один положительный нуль.

     Доказательство. Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция обладает хотя бы одним положительным нулём , а тогда (по формуле удвоения для функции ) будем иметь

      ,

т.е. - положительный нуль функции , но это противоречит допущению. 

     Замечание. Если , то и для любого .

     Доказательство. Для  ,  -это известно.

Пусть для  утверждение верно, т.е. . Докажем справедливость утверждения  для .

Используя свойство 4, вычислим :

      

т.к. и . 

5. Существует  наименьший положительный нуль функции .

      Доказательство. Обозначим через  множество положительных нулей функции . Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть . Очевидно, что . Предположим теперь, что функция не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества получаем, что - предельная точка множества . Теперь легко убедиться, что является одним из нулей функции . Действительно,

      

(здесь  мы воспользовались непрерывностью  функции  и теоремой о пределе функции (в нашем случае ) в точке по данному множеству , для которого является предельной точкой). Отсюда следует, что (поскольку в случае число было бы наименьшим положительным нулём функции вопреки сделанному выше предположению).