Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Февраля 2011 в 12:51, реферат
Геометрические приложения двойных интегралов
1.Геометрические приложения интегралов
1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3
1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5
1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов… 6
1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8
2. Физические приложения интегралов
2.1 Физические приложения двойных интегралов……………… 10
2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12
2.3 Физические приложения криволинейных интегралов……... 14
2.4 Физические приложения поверхностных интегралов……… 18
Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами
где
− так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.
Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами
Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами
Сила притяжения поверхности
Пусть задана поверхность S, а в точке (x0, y0, z0), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 1).
| Рис.1 | Рис.2 |
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением
где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности.
Сила давления
Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать
где − единичный нормальный вектор к поверхности S.
Поток жидкости и поток вещества
Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой
Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.
Заряд поверхности
Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой
Теорема Гаусса
Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:
где
,
− напряженность электрического поля,
ε − относительная диэлектрическая
проницаемость среды,
− диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым
поверхностям. В случае поверхности с
достаточной симметрией, данная теорема
упрощает вычисление электрического поля.
Теорему Гаусса рассматривают как один
из основных постулатов теории электричества.
Она входит в систему основных уравнений
Максвелла.
Пример
Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .
Решение.
Воспользуемся формулой
Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать
Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем
Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен