Дифференциальные уравнения гиперболического типа

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ  КАЗАХСТАН

Инновационный евразийский университет

ФАкультет энергетики и информационных технологий

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа. 
 

Тема: Дифференциальные уравнения гиперболического типа. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа студента гр. МТ-31

Нургалиев А. 

Научный руководитель 

Шарая С. Н. 

Дата  сдачи курсовой работы _________

Дата  защиты _________

      Оценка _________ 
 
 
 
 
 
 

Павлодар 2007 год.

Содержание.

1. Введение.
2. Метод распространяющихся волн.
1. Вывод уравнения колебаний струны.
2. Формула Даламбера.
1. Вывод формулы Даламбера.
2. Физическая интерпретация.
3. Пример.
3. О колебании стержней.
1. Уравнение поперечных колебаний стержней.
2. Задача о собственных значениях.
3. Частоты собственных колебаний камертона.
4. Заключение.
5. Литература.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение.

    Многие  задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.

    Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний  струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.

    Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Метод распространяющихся  волн.

2.1. Вывод уравнения колебаний струны.

      В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

     Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

     

     Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M₁M₂ равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M₁M₂=x₂-x₁. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T.

     Рассмотрим  элемент струны MM’.

     

На концах этого элемента, по касательным к  струне, действуют силы T. Пусть касательные образуют осью 0x углы и . Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:

(здесь  мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

      Чтобы получить уравнение движения, нужно  внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса  элемента струны будет  . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая  на и обозначая , получаем уравнение движения

                                                            (1)

Это и  есть волновое уравнение – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями:

2.2. Формула Даламбера.

      Изучение  методов построения решений краевых  задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:

                                                          (2)

                                                          (3)

Преобразуем это уравнение к каноническому  виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

, ,

интегралами которых являются прямые

, .

Вводя новые переменные

, ,

уравнение колебания струны преобразуем к  виду:

.                                                                  (4)

Найдем общий  интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)

,

где - некоторая функция только переменного . Интегрируя это равенство по  при фиксированном , получим

,                             (5)

где и являются функциями только переменных и .Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции и , функция , определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе и , то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция

                                           (6)

является общим  интегралом уравнения (2).

      Допустим, что решение рассматриваемой  задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции  и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:

                                                  (7)

.                                         (8)

Интегрируя второе равенство, получим:

где и C – постоянные. Из равенства

находим:

                                          (9)

      Таким образом, мы определили функции  и через заданные функции и , причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения и , получим:

или 

,                                (10)

      Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование  решения поставленной задачи. Эта  формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.

      Нетрудно  проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции и однократной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.

2.2.2.Физический интерпретация.

     Функция , определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция дает профиль струны в момент , фиксируя , получим функцию , дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент t=0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая , . В этой подвижной системе координат функция будет определятся формулой и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x+at) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом

,

где .

      Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые x-at=const и x+at=const являются характеристиками уравнения (2). Функция вдоль характеристики x-at=const сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики x+at=const.

      Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики и через точки и ; они разбивают полуплоскость (x,t>0) на три области I, II, и III (рис. 3, а).