Числовые ряды

1. если сходится, то сходится и ряд
2. если расходится, то расходится также и ряд

 
 

 

Рассмотрим криволинейную  трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=n.

Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями  которых служат отрезки [1;2],[2;3],... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

или

или

 

Случай 1.  Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку , то с учетом неравенства имеем: , т.е. . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то, по признаку существования предела, имеет предел.

Следовательно, ряд сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что , получаем, что при . Следовательно, данный ряд расходится. 
 
 

Ряд ,

где p>0 – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши.

Рассмотрим функцию  . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем:

При p=1 имеем гармонический ряд , который расходится. Итак, ряд сходится при , расходится при . В частности, ряд сходится. 
 

Знакочередующиеся и знакопеременные  ряды 

Знакочередующиеся ряды 

 

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,

где для всех . 

Теорема (достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда).  

Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
2. Общий член ряда стремится к нулю:

 

При этом сумма  S ряда удовлетворяет неравенствам  

Рассмотрим сначала  частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем

Выражение в  каждой скобке, согласно первому условию  теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера 2m.

С другой стороны, можно переписать так:

Легко видеть, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа  (2m+1) членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем . 
 
 
 
 
 
 

Общий достаточный признак  сходимости знакопеременных  рядов 

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Для знакопеременных  рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости. 

Теорема.

Пусть дан знакопеременный  ряд

Если сходится ряд  ,

составленный  из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный  ряд .

Рассмотрим вспомогательный  ряд, составленный из членов рядов  и :

Очевидно, что для всех . Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов

то, на основании  свойства 2 числовых рядов, он сходится.

Обратное утверждение  неверно. 

Абсолютная  и условная сходимость числовых рядов.

Свойства  абсолютно сходящихся рядов. 

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных  рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле)
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна + (или соответственно - )
3. Под произведением двух рядов и понимают ряд вида

Произведение  двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна . 
 

Степенные ряды 

Функциональные  ряды

Основные  понятия 

Ряд, членами  которого являются функции от х, называется функциональным:

Придавая  х определенное значение , мы получим числовой ряд

,

который может  быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка  называется точкой сходимости ряда ; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность  числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называются его областью сходимости.

В области  сходимости функционального ряда его  сумма является некоторой функцией от х: S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством ,где – частичная сумма ряда. 

Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами  которого являются степенные функции  аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда, - действительная переменная.

Ряд расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т.е. ряд вида , где – некоторое постоянное число. 

Сходимость  степенных рядов. 

Область сходимости степенного ряда содержит по крайней  мере одну точку: х=0 (ряд сходится в точке) 
 
 
 
 

Теорема Н. Абеля 

Теорема

Если степенной  ряд  сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  

По условию  ряд  сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство , n=1, 2,..

Пусть , тогда величина и, следовательно, , т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося (q<1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд абсолютно сходящийся. 

Следствие

Если ряд  расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству  

Действительно, если допустить сходимость ряда в  точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию. 
 

Интервал  и радиус сходимости степенного ряда 

Из теоремы  Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд расходится.

Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (-R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при – расходится.

В частности, когда  ряд сходится лишь в одной точке , то считаем, что R=0. Если же ряд сходится при всех значениях , то считаем, что .

Отметим, что  на концах интервала сходимости (т.е. при х=R и при х=-R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

,

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях х, для которых ; ряд, составленный из модулей члена ряда , расходится при тех значениях х, для которых . Таким образом, для ряда радиус абсолютной сходимости

 

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

 
 

Свойства  степенных рядов 

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

2. Степенные  ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .

3. Степенной  ряд внутри интервала сходимости  можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при –R<x<R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда при –R<a<x<R выполняется равенство

Ряды  и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. 
 
 
 

Разложение  функций в степенные  ряды 

Ряды  Тейлора и Маклорена 

Как известно, для любой функции  определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде , где . Формулу кратко можно записать в виде , где – многочлен Тейлора.