Представление чисел в ЭВМ

              Содержание 

Задание 1. Перевод  чисел из одной позиционной системы  в другую……………………….…3

1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную…………………....3
2. Изображение чисел в форме с фиксированной запятой (ФЗ).…….………………..5
3. Изображение чисел в форме с плавающей запятой (ПЗ)…………………..……….6

Задание 2. Сложение двоичных чисел…………………………………………………....….…..7

      2.1 Сложение чисел в форме с  ФЗ в обратном коде (ОК)………………………………7

      2.2 Сложение чисел в форме с  ФЗ в дополнительном коде (ДК)………………………8

      2.3 Сложение чисел в форме с ФЗ в модифицированном коде………………...………8

      2.4 Сложение чисел в форме с  ПЗ………………………………………………….….…9

Задание 3. Умножение  двоичных чисел………………………………………………………..11

      3.1 Умножение чисел с ФЗ в ПК, используя первый способ умножения…………....11

      3.2 Умножение чисел с ФЗ в ДК, используя второй способ умножения………….....13

      3.3 Умножение чисел с ФЗ в ДК, используя третий способ умножения……...……...15

     3.4 Умножение чисел с ПЗ, используя  четвертый способ умножения……..……...…16

Задание 4. Деление  двоичных чисел………………………………………………..…………..19

      4.1 Деление чисел с ФЗ в ПК  первым способом, применяя алгоритм  с восстановлением остатков (ВО) и ОК при вычитании………………………………………………………………………………..……….19

      4.2 Деление чисел с ФЗ в ПК  вторым способом, применяя алгоритм  без ВО и ДК

при вычитании………………………………………………………….…………….………….21

      4.3 Деление чисел с ФЗ в ДК  вторым способом, применяя алгоритм  с автоматической коррекцией…………………………………………………………………………………..……23

      4.4 Деление чисел с ПЗ первым  способом…………………………………...…………24

Задание 5. Сложение двоично-десятичных чисел……………………………………………..27

      5.1 Сложение двоично-десятичных чисел  в коде 8-4-2-1………………………..……27

      5.2  Сложение двоично-десятичных чисел  в коде с избытком три………………..….28

      5.3 Сложение двоично-десятичных чисел  в коде 2-4-2-1………………………..……30

      5.4 Сложение двоично-десятичных чисел  в коде 3а+2………………………..………31

Задание 6. Умножение  двоично-десятичных чисел…………………………………......…….32

      6.1 Умножение старорусским методом  удвоения – деления пополам……...………..32

      6.2 Умножение методом десятично-двоичного разложения множителя………….....34

Список литературы………………………………………………………………………...…….36

 

I. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую с использованием  промежуточных систем счисления и изображение чисел в форматах ЕС и СМ ЭВМ. 
 

 
 
 
 
 

 Любое число  А в позиционной системе счисления (СС) с основанием q можно записать в виде: 

 A(q) = a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 +…+ a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 +…+ a_-mq^-m = ,

 где a_k – цифра числа в данной СС;

        q^k – разрядный вес цифры a_k;

        n+1 – количество разрядов в  целой части числа;

        m – количество разрядов в дробной  части числа. 

 Чтобы перевести целое число в новую  СС, его необходимо последовательно  делить на  основание новой СС до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна 0. Число в новой СС записывают из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа. 

 Чтобы перевести правильную дробь из одной  позиционной СС в другую, надо её последовательно умножать на новое основание до тех пор пока в новой дроби не будет получено нужного количества цифр, определяемого заданной точностью. Правильная дробь в новой СС записывается из целых частей произведений, и старшей цифрой новой дроби будет целая часть первого произведения.

 Формула для определения количества цифр в новой СС: ,

 где m₁ – количество цифр исходной дроби с основанием p;

       m₂ – количество цифр в новой дроби с основанем q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

А=356,31

10сс – 8сс – 2сс

Перевод целой части:

356  8

    4  44  8

     4  5  8

                5  0 

Перевод дробной части:

Количество цифр после перевода дроби из 10 СС в 8 СС:

= 3 
 

    0,31

      8

    2,48

       8

    3,84

     8

    6,72 

Проверка: 

2cc – 16сс – 10сс

0001 0110 0100 , 0100 1111 0000₂ = 164,4F₁₆ = (1*256+6*16+4+4*16^-1+15*16^-2)₁₀ =

  1       6     4        4       15       0

= 356,3085…₁₀ = 356,31₁₀    (верный результат) 

B=723,54

10сс – 16сс – 2сс

Перевод целой части:

723  16

  3  45 16

    13   2 16

                2  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Перевод дробной части:

Количество цифр после перевода дроби из 10 СС в 16 СС:

= 3 
 

    0,54

    16

    8,64

     16

  10,24

   16

    3,84 

Проверка: 

2cc – 8сс – 10сс

001 011 010 011 , 100 010 100 011₂ = 1323,4243₈ = (1*512+3*64+2*8+3+4*8^-1+2*8^-2+4*8^-3)₁₀ =

  1     3     2     3       4     2     4     3

= 723,539…₁₀ = 723,54₁₀    (верный результат) 
 

 
 
 
 

 Для двоичных чисел с ФЗ используют 3 формата фиксированной длины: полуслово – короткий с ФЗ (2 байта = 16 бит, 16 разрядов); слово – длинный с ФЗ (4 байта = 32 бита, 32 разряда); двойное слово – для промежуточных действий(8 байт = 64 бита, 64 разряда), чтобы обеспечить высокую точность вычислений. Двоичные операнды имеют вид целых чисел в дополнительном коде, у которых крайний левый разряд – знаковый. Это правило справедливо как для ЕС ЭВМ, так и для ПЭВМ.

   

А = 356,31

А = 101100100,010011110₂   М=2^-9 

зн

  
 

B = -723,54

B = -1011010011,100010100011₂  М=2^-10 

зн

   
 
 
 
 

 
 
 
 

 Двоичные  числа с ПЗ изображаются по-разному  в ЕС ЭВМ и ПЭВМ. Общим в изображении является лишь то, что порядки имеют смещения.

 В ПЭВМ для чисел с ПЗ используются два формата: короткий  и  длинный.  Смещенный  порядок  занимает  восемь  разрядов (смещение=128), крайний левый разряд  сетки отводится под знак  числа,  остальные под мантиссу, изображенную в 2СС (23 разряда в коротком и 55 разрядов в длинном формате). Смещенный  порядок содержит информацию о положении запятой в двоичной мантиссе числа. Для повышения точности представления мантиссы старший разряд ее, который в нормализованном виде всегда равен «1», может не заноситься в разрядную сетку, а просто подразумеваться.

 В ЕС ЭВМ для чисел с ПЗ имеются три формата: короткий – слово, длинный -  двойное  слово  и  расширенный – учетверенное  слово.  Во  всех  этих форматах  смещенный  порядок  занимает  семь  разрядов (смещение=64)  и размещается в старшем байте вместе со знаковым разрядом числа. Остальные разряды (24 для короткого формата) занимает мантисса числа, изображаемая в 16 СС. Каждые 4 бита воспринимаются машиной как одна 16-ричная цифра, а в смещенном порядке содержится информация о положении запятой между 16-ричными, а не двоичными цифрами. Мантисса чисел с ПЗ всегда изображается в ПК и должна быть нормализована.

 Сравнение представления  мантисс с двоичным и  шестнадцатеричным основанием показывает существенное расширение диапазона представления чисел в ЕСЭВМ. 
 

А = -356,31

А = -000101100100,010011110₂

                                          р = 6

а) 2сс мантисса 

зн     8 разрядов                                        мантисса

1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 

б) 16сс мантисса 

зн     7 разрядов                                        мантисса

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0  

B = 723,54

B = 001011010011,100010100011₂

                                          р = 9

а) 2сс мантисса 

зн      8 разрядов                                        мантисса

0 1 0 0 0 1 0 1 0  1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0  

б) 16сс мантисса 

зн      7 разрядов                                        мантисса

0 1 0 0 0 0 1 1  0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

 

II. Сложение двоичных чисел. 

 Отрицательные числа в ЦВМ представлены в  специальных кодах: прямом, обратном и дополнительном.

 Прямой  код (ПК) представляет абсолютное значение числа с закодированным знаком: « + » – «0», « - » – «1».

 Обратный  код (OK) положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа в знаковый разряд заносится «1», а в остальных разрядах цифры заменяются на взаимообратные (0 на 1, 1 на 0), т.е. формируется поразрядное дополнение числа до единицы.

 Дополнительный  код (ДК) положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа в знаковый разряд заносится «1», а в цифровой части числа цифры заменяются на взаимообратные и к полученному инверсному изображению прибавляется, единица в младший разряд, т.е. код является дополнением до основания СС.

 Таким образом, положительные числа во всех кодах одинаковы, а отрицательные  –     различны.