Транспортная модель исходной задачи

Постановка задачи

Три завода компании производят небольшие электрические моторы для четырех производителей бытовых приборов. Удельные производственные затраты на заводах, а также ежемесячные производственные мощности отличаются из-за различий в оборудовании и производительности труда (см. следующую таблицу).

Заказы клиентов на следующий месяц показаны в следующей таблице.

Затраты на доставку продукции также различны. Удельные затраты на транспортировку в рублях на единицу приводятся в следующей таблице.

Руководство компании должно решить, сколько единиц продукции выпустить на каждом заводе, и сколько отправить каждому клиенту с каждого завода. При этом надо минимизировать суммарные производственные и транспортные расходы. Сформулируйте данную задачу в виде транспортной модели и найдите оптимальное решение.

Транспортная модель исходной задачи

Общая сумма спроса не равна общему предложению (300 + 500 + 400 +

+600<800+600+700), поэтому данная транспортная задача является открытой. Вектор спроса равен D ={300; 500;400;600}, а вектор предложения S ={800; 600;700}. Переменными задачи будут объемы перевозок из каждого завода к каждому клиенту, т.е. матрица плана перевозок

,

где xij – это число единиц продукции, выпускаемое на заводе i и отправляемое j –му клиенту (i =1, 2, 3; j =1, 2, ...,4). Объем производства не может быть отрицателен, поэтому xij≥0. Спрос каждого клиента должен быть удовлетворен, таким образом, для  каждого j=1,2,3,4: 

Также в задаче есть ограничение на производительность заводов, поэтому для  каждого i=1,2,3:  .

Транспортные расходы на единицу продукции представлены в матрице тарифов на перевозку

,

Где сij– это стоимость транспортировки в руб. единицы продукции c i-го завода к j–ому  клиенту. Но существуют также производственные затраты, стоимость всех произведенных и транспортных затрат составит:

Данную величину согласно условиям задачи нужно минимизировать. Таким

образом, задача линейного программирования будет следующей.

minZ= (P+C, X)

, j =1, 2, 3,4

, i =1, 2, 3;

X≥0

Решение с помощью Поиска решения

Запишем данную задачу в матричном виде:

– правая часть ограничений

М – матрица коэффициентов при переменных в ограничениях

Рассчитаем левую часть ограничений Mx= мумнож(M; X)

minZ=(P+C, X)

X≥0

Общий вид модели в MS Excel следующий

Рисунок 1 – Лист MS Excel с задачей

Рисунок 2 – Окончательный вид заполненного «Поиска решения»

Ответ: план перевозок, при котором достигается минимум затрат в 1215000 руб., представлен в следующей таблице:

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Латипова, А.Т. Применение линейного программирования в исследовании

Социально-экономических процессов: учебное пособие / А.Т. Латипова; под редакцией А.В. Панюкова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. – 123 с.

2. Ашманов, С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. – М.: Наука , 1981. – 304 с.

3. Панюков, А.В. Линейное программирование / А.В. Панюков. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2001. – 59 с.