Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

0,17

-1,5

0,4    0,4 максимум минимум 
мах              3        0,62          0,4

 

Рассчитаем коэффициент платежной  матрицы А3(2).

Предприятие 1 принимает решение  о производстве продукции в соответствии с технологией 2. Тогда реализация единицы продукции для предприятия 1 составит 2 денежные единицы при  себестоимости 1,5. Для предприятия 2 цена реализации единицы продукции  6 денежных единиц при себестоимости 4.

Кол-во продукции, которое население  приобретет при средней цене 4 денежной единицы, 4 тысячи едини спрос. Доля продукции, которую население приобретет у предприятия 1 – 0,85,  у второго 0,15.

 

А32=0,85( 4*2-4*1,5) – 0,15(4*6-4*4)=0,5

А11= 0,17

А11 = 0,31(1*10-1*5) – 0,69(1*10-1*8)= 0,17

И т.д.

В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий  нет заведомо невыгодных технологий производства продукции.

Нижняя цена игры матрицы =0,4, верхняя  цена также =0,4. Таким образом нижняя и верхняя цена игры совпадают. Это  значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной  для предприятий в условиях данной задачи.

Для предприятия 1 это технология 1, которая соответствует стратегии  А3.

Стратегии А3, В3 – это чистые оптимальные  стратегии в данной задаче.

Значение разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительна. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс.ден.единиц. При этом на рынке будет реализована 5 тысяч  ед.продукции.

Оба предприятия установят цену за единицу продукции = 2 ден.ед. При  этом для первого предприятия  полная себестоимость единицы продукции  составит 1,5 ден.ед., а для второго 1 ден.ед. Предприятие 1 окажется в выигрыше только за счет высокой доли продукции, которую приобретет у него население.

 

Матричные игры со смешанным расширением.

Решение матричной игры начинается с нахождения ее верхней и нижней цены. Если эти значения совпадают  и игра имеет седловую точку, то на этом решение игры завершается. Если матричная игра не имеет решения  в чистых стратегиях, то для нахождения ее решения используются смешанные  стратегии, а найденные ранее  нижняя и верхняя цены игры указывают  на то, что игрок 1 не должен надеяться  на выигрыш больший, чем верхняя  цена игры и может быть уверен в  получении выигрыша не меньше нижней цены игры. В этом случае оптимальный  результат игры достигается с  …….

Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения двух чистых стратегий. Стратегии, примененные  вероятностью, отличной от нуля называются активными стратегиями.

 

Пусть Игрок 1 имеет m чистых стратегий А1, А2, А3…Аn. Обозначим через Х1, Х2 и т.д. вероятности, с которыми игрок 1использует свои соответствующие чистые стратегии. Тогда смешанная стратегия игрока 1 – это набор чисел Х =(х1,х2,….хn), удовлетворяющих хi≥0, i=1…n сумма хi=1.

Игрок 2. В1, В2, В3….Вn. у1,у2,у3… (тоже самое)

 

Применяет свои смешанные стратегии  независимо от выбора другого игрока. Доказано, что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия  значения выигрыша, при выборе которой  находится в интервале :

≤≤

При этом условии  она называется ценой игры

=

 

Определение оптимальных стратегий  для обоих игроков и цены игры составляет процесс нахождения решения  игры. Доказано, что всякая матричная  игра с нулевой суммой имеет решение  в смешанных стратегиях. Для того, чтобы число  было ценой игры, а Х* и У* - необходимо и достаточно выполнения неравенств.

 ДОПИСАТЬ

 

 

 

06.05.2013

Для игр порядка 2*2, 2*n , m*2 справедливо следующее утверждение: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш = цене игры (ню) вне зависимости от того, с какими вероятностями будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальные, в том числе и чистые стратегии. И для достижения наибольшего гарантированного выигрыша второму игроку также необходимо придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии.

 

Решение матричных игр со смешанным  расширением методами линейного  программирования

Решение матричной игры со смешанным  расширением – это определение  оптимальных смешанных стратегий, т.е. нахождение таких значений вероятности  выбора чистых стратегий для обоих  игроков, при которых они достигают  наибольшего выигрыша. Таким образом, для матричной игры, в которой нижняя цена игры не совпадает с верхней ценой игры, необходимо определить такие значения вероятностей выбора стратегий для игрока 1 и для игрока 2, при которых игроки достигали бы своего максимально гарантированного выигрыша. Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то по условию задачи его выигрыш не может быть меньше цены игры. Поэтому данная задача может быть представлена для игроков в виде систем линейных неравенств.

Значение вероятностей для игрока 1 : р1,р2,…,рn

Игрок 2 : q1,q2….qn

 

А11 р1+ а21 р2+…+Аm1 Рm ≥V

A12 P1 + A22 P2+….+Am2 Pm ≥V

……

A1n P1 + A2n P2 +…+ Amn Pm ≥V

P1+P2+…+Pm=1

P1≥0; P2≥0; …Pm≥0

 

Игрок 2

А11q1 +a12q2+…+a1nqn≤V

A21q1+a22q2+…+a2nqn≤V

….

Am1+am2q2+…+AmnQn≤V

Q1+q2+….+qn=1

Q1≥0, q2≥0 … qn≥0

 

 

Чтобы определить значение V, необходимо разделить обе части каждого из уравнений на V.

Pi/V=Xi , Yi=qi/V

 

Игрок 1.

A11 X1+a21X2+…+Am1Xm≥1

A21X1+a22X2+…+am2Xm≥1

…..

AmX1+A2nX2+…+Xm= 1/V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для игрока 1 из полученной системы  неравенств нужно найти значение 1/V. Т.к. необходимо найти максимальной значение цены игры, то значение 1/V должно стремиться к минимуму. Целевая функция задачи имеет вид:

 

minZ=min 1/V=min (x1+x2+…+xm)

Для игрока 2 из системы необходимо найти минимальную цену игры. Следовательно 1/V должна стремиться к максимуму .

Игрок 2 : maxZ=max 1/V = max (y1+y2+…+ym)

 

Все переменные в системах линейных неравенств должны быть неотрицательными. Значения Pi и Qi не могут быть отрицательными, т.к. являются значениями вероятностей выбора стратегии игроков. Поэтому необходимо, чтобы значение цены игры V не было отрицательным. Цена игры вычисляется на основе коэффициентов выигрышей платежной матрицы. Поэтому для того, чтобы гарантировать условия неотрицательности для всех переменных необходимо, чтобы все коэффициенты матрицы были неотрицательными. Этого можно добиться прибавив перед началом решения задачи к каждому коэффициенту матрицы число К, соответствующее модулю наименьшего отрицательного коэффициента матрицы. Тогда в ходе решения задачи будет определена не цена игры, а величина V*=V+K.

Для решения задач линейного  программирования используется симплекс метод. Симлекс метод реализован майкрасофт иксель и позволяет для  решения задач линейного программирования использовать средство: поиск решения. В результате решения определяются значения целевых функций. Для обоих  игроков эти значения совпадают, а также определяются значения переменных Xi и Yi.  Величина V*= 1/Z,а значнеие вероятностей выбора стратегий определяются для игрока 1 : Pi=xi V*, для игрока 2 : qi=yi V*

Для определения цены игры нужно  V=V*-K

 

 

Модели систем массового обслуживания (СМО)

В практике управления в экономике  часто приходится сталкиваться с  системами, предназначенными для многоразового  использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы, в которых осуществляются эти процессы, называются системами  массового обслуживания.

Каждая СМО состоит из определенного  числа обслуживающих единиц  (пунктов, станций, приборов и т.д.), которые  называют каналами обслуживания. По числу  каналов СМО подразделяются на одноканальные  и многоканальные. Заявки поступают в Смо обычно нерегулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок в общем случае также продолжается какое-то случайное время.

Примеры СМО – автобусный маршрут  и перевозка пассажиров: заявки –  пассажиры, каналы – автобусы.

Производственный конвейер по обработке  деталей :заявки – детали, узлы; каналы – станки, складские помещения.

Магазины: заявки –покупатели, каналы – кассы.

А также ремонтные мастерские, АЗС, билетные кассы, вычислительные комплексы…

 

Случайный характер потока заявок и  времени обслуживания приводит к  тому, что СМО оказывается загруженной  неравномерно, т.е. какие-то периоды  времени скапливается очень большое  кол-во заявок. Они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными. В другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает. Каналы бывают горячие, начинают обслуживать  заявку в момент ее поступления в  канал и холодные – каналу для  начала обслуживания требуется время  на подготовку.

Источники заявок порождают заявки в случайные моменты времени  согласно статистическому закону. Заявки часто называют клиентами. Бывают нетерпеливые заявки, которые не могут ожидать  или находиться в системе и  которые покидают СМО по собственной  воле. Заявки образуют потоки: поток  заявок на входе системы, поток обслуженных  заявок, поток отказанных заявок. Поток  характеризуется кол-вом заявок определенного сорта наблюдаемым  в некотором месте СМО за единицу  времени (час, сутки, месяц). Т.е. поток  есть величина статистическая. Очереди  характеризуются дисциплиной обслуживания, кол-вом мест в очереди, структурой очереди. Бывают ограниченные и неограниченные очереди.

Важнейшими дисциплинами обслуживания являются ФИФО, ЛИФО, SF

Первым пришел ФИФО – первым пришел, первым ушел. Если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет  на обслуживание

ЛиФо- последним пришел, первым ушел. Если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание.

SF- в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

Математические модели массового  обслуживания связывают заданные условия  работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.д.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком  заявок. В качестве показателей эффективности  СМО используются среднее число  заявок, обслуживаемые в единицу  времени, среднее число заявок в  очереди, среднее время ожидания обслуживания, вероятность отказа в  обслуживании без ожидания, вероятность  того, что число заявок в очереди  превысит определенное значение и другие.

Средние величины понимаются как математические ожидания соответствующих случайных  величин. СМО делят на 2 основных типа:

1.СМО с отказами – заявка, поступившая в момент, когда все  каналы заняты, получает отказ,  покидает СМО и в дальнейшем  процессе обслуживания не участвует.

2. СМО с ожиданием (очередью) – заявка при занятых каналах не уходит, а становится в очередь на обслуживание. СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или не ограниченной длинной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.д.

Последовательность однородных событий  СМО, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени образуют поток событий. Например, поток покупателей, поток вызовов в Call-центре и т.д.

Поток характеризуется интенсивностью, т.е. частотой появления событий  или среднем числом событий, поступающих  в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере. Если же вероятностные характеристики потока событий не зависят от времени  – он называется стационарным.

Интенсивность стационарного потока – есть величина постоянная. Например,  поток автомобилей на шоссе в  часы пик.

Поток событий называется ординарным, если событие появляется днем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов  подходящих в станции ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Наиболее важный вариант распределения  длительности интервалов между поступлениями  заявок соответствует случаю совершенно случайных событий. Случайный означает, что вероятность поступления  заявки в любом достаточно малом  интервале зависит только от длины  интервала и не зависит от положения  на оси времени стартовой точки, а также не зависит от протекания процесса поступления заявок на обслуживание в моменты времени, предшествующие стартовой точке.

Не обладающий памятью стационарный одинарный поток называют простейшим и для него справедливо экспоненциальное разделение с плотностью вероятности  f(t)= λe^

Таким образом, интервал времени между  двумя соседними произвольными  событиями имеют распределение  в виде 1, для которого математическое ожидание = среднему квадратическому  отклонению случайной величины t и обратно по величине интенсивности потока λ….

Предположение об  экспоненциальном характере распределения длительности интервалов между поступлениями  заявок равносильно утверждению, что  распределение вероятностей n-поступлений произвольно выбранным интервале является пуассоновским.  Т.е. вероятность Р(n/t) , n –поступлений в любом интервале, длительность которого = Т, выражается с использованием формул для распределения Пуассона….