Задача потребительского выбора.Функция потребительского предпочтения Стоуна

 
 
 
 

                           Курсовая работа

            на тему: «Задача потребительского выбора.

     Функция потребительского предпочтения Стоуна» 
 
 
 

                                                           

                                                          

                                                                                     
 
 
 
 

                                              Пенза,2008

                                          Содержание 

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Функция полезности. Бюджетное ограничение. Формулировка задачи                            потребительского выбора…………………………….……………………..…...4

      1.1 Решение задачи потребительского выбора и его свойства…………….7

            1.1.1. Пример решения задачи потребительского спроса……………...9

      1.2. Общая модель потребительского выбора……………………………..10

2.   Функция потребительского предпочтения Стоуна……………………......12

Заключение……………………………………………………………………….14

Список использованной литературы…………………………………………...15

Приложение………………………………………………………………………16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                 Введение 

    Современная математика характеризуется интенсивным  проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

    Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными  характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

    Актуальность  данной темы состоит в том, что  в современной экономике используются оптимизационные методы, которые  составляют основу математического программирования, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

    Изучение  экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить  знания в этой области.

    Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономической задач.

    При написании курсовой работы были поставлены следующие задачи:

• Рассмотрение задачи потребительского выбора и составление математической модели;
• Изучение функции потребительского предпочтения Стоуна;
• Практическое решение задач.

1. Функция полезности. Бюджетное ограничение.     Формулировка задачи потребительского выбора. 

    Будем считать, что потребитель располагает  доходом Q, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов) Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определённое количество благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора.

    В некоторых задачах выделяют один продукт, а вторым считают все остальные. Поэтому сначала рассмотрим модель с двумя видами продуктов. Потребительский набор – это вектор (x₁,x₂), координата x₁ которого равна количеству единиц первого продукта, а координата x₂ равна количеству единиц второго продукта.

    Выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые два набора может сказать, что-либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор А=(а₁,а₂) предпочтительнее набора B=(b₁,b₂), а набор B=(b₁,b₂) предпочтительнее набора С=(с₁,с₂), то набор А=(а₁,а₂) предпочтительнее набора С=(с₁,с₂).

    На  множестве потребительских наборов (x₁,x₂) определена функция u(x₁,x₂) (называемая функцией полезности потребителя), значение u(x₁,x₂) которой на потребительском наборе (x₁,x₂)равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку u(x₁,x₂) набора (x₁,x₂) принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребительского индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (x₁,x₂). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то u(А)>u(В).  
 

Функция полезности удовлетворяет  следующим свойствам:

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведёт к росту потребительской оценки, т.е. если x >x , то u(x ,x₂)> u(x ,x₂);

     если x >x , то u(x₁, x )> u(x₁, x ).

          Иначе говоря, u (x₁,x₂)=u >0 , u (x₁,x₂)=u >0.

 Первые частные производные u и u называются предельными                               полезностями первого и второго продуктов соответственно.

2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объём его потребления растёт (закон убывания предельной полезности). Из свойства второй производной следует, что u (x₁,x₂)<0, u (x₁,x₂)<0.
3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растёт количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Если блага могут замещать друг друга в потреблении, свойство не выполняется. u (x₁,x₂)=u₁₂>0, u (x₁,x₂)=u₂₁>0.

    Линия, соединяющая потребительские наборы (x₁,x₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей не пересекаются и не касаются. Чем выше и правее расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребностей она соответствует. Условия 1-3 означают, что линия безразличия убывает и является выпуклой вниз.

    Задача  потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х , х ), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е.

                                                 p₁x₁+p₂x₂≤Q,       где

 p₁ и p₂ – рыночные цены,

 Q – доход потребителя, который он готов потратить на приобретение     первого и второго продуктов.

Величины  p₁, p₂ и Q заданы.

    Задача  потребительского выбора имеет вид:

    u(x₁,x₂)→max

            при ограничении              p₁x₁+p₂x₂≤Q

            и при условии                          x₁≥0, x₂≥0.

    Допустимое  множество (т.е. множество наборов  продуктов, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии всё более высокого уровня полезности до тех пор, пока эти линии ещё имеют общие точки с допустимым множеством (Рис.1).  

  
 

Рис.1.

1. Решение задачи потребительского выбора и его свойства.

    Набор (х , х ), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя.

    Рассмотрим  некоторые свойства задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи  (х , х ) сохраняется при любом монотонном (т.е. сохраняющем порядок значении) преобразовании функции полезности u(x₁,x₂). Поскольку значение u(х , х ), было максимальным на всём допустимом множестве, оно остаётся таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остаётся неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение её в положительную степень, логарифмирование.

    Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз λ . (λ>0)

    Это равнозначно умножению на положительное  число λ обеих частей бюджетного ограничения p₁x₁+p₂x₂≤Q, что даёт неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход Q не входят в функцию полезности, задача остаётся той же, что и первоначально.

    Если  на каком-то потребительском наборе (x₁,x₂) бюджетное ограничение p₁x₁+p₂x₂≤Q будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х , х ), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е.

                                          p₁х +p₂х =Q.

    Графически  это означает, что решение (х

, х ) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которая проходит через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратиться на один продукт:                                                (0, ) и ( ,0).

    Итак, задачу потребительского выбора можно  заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (х , х ) этих двух задач одно и то же):

    u(x₁,x₂)→max

                           при условии       p₁x₁+p₂x₂=Q.

    Для решения этой задачи применим метод  Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа

                              L(x₁,x_2, λ)= u(x₁,x₂)+ λ (p₁x₁+p₂x₂-Q),

      находим её частные производные по переменным x₁,x₂ и λ, которые приравниваем к нулю:

       L = u +λ p₁=0,

                                                  L = u +λ p₂ =0,