Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований

      Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная    y=a×x^b×e;
• показательная    y=a×b^x×e;
• экспоненциальная    y=e ^a+b×x×e.

      Построение  уравнения регрессии сводится к  оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака  y от теоретических минимальна, т.е.

      Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно  a и b:

      Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:       

      Тесноту связи изучаемых явлений оценивает  линейный коэффициент парной корреляции  r_xy для линейной регрессии (-1£ r_xy£1):

и  индекс корреляции ρ_xy – для линейной регрессии (0£ ρ_xy £1):

     Оценку  качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя  ошибка аппроксимации.

      Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:   Допустимый предел значений    – не более 8-10%.

      Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора  x на 1% от своего среднего значения:

      Задача  дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:     

где   - общая сумма квадратов отклонений;

        - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

        - остаточная сумма квадратов отклонений.

      Долю  дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного  признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации  R²:  

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

      F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где   n – число единиц совокупности;  m – число параметров при переменных x.

      F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости  a. Уровень значимости a  – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.

      Если  F_табл< F_факт, то H₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если  F_табл> F_факт, то H₀ – гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, надежность уравнения регрессии.

      Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

      Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:  

      Если  t_табл< t_фак, то  H₀ отклоняется, т.е. a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если  t_табл> t_фак, гипотеза H₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования   a, b или r_xy.

      Для расчета доверительного интервала  определяем предельную ошибку D для каждого показателя: 

      Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

      Если  в границы доверительного интервала  попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

      Прогнозное  значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) x_p. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза  где  ,   и строится доверительный интервал прогноза:

             где