Контрольная работа по «Эконометрике»

 

Таким образом, прогнозное значение = 117,64 будет находиться между верхней границей, равной 117,64+9,974 =127,6, и нижней границей, равной 117,64-9,974=107,7. График исходных данных и результаты моделирования приведены на рис. 2.

 

Рис.2. График модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложения.

 

 

 

 

8. Составим уравнение нелинейной регрессии:

Построение  гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции: ŷ = a+b/x

Произведем  линеаризацию модели путем замены   Х = 1/х.

В результате получим линейное уравнение: ŷ = a+b ∙Х

Рассчитаем  его параметры по данным таблицы 4:

Таблица 4

 

 

 

№ п/п	x	y	Х	уХ	Х2	у-уср	(у-уср)2	ŷ=a+b*Xi	ei = yi - ŷ	(y-ŷ)2	|ei/yi|*100%
1	36	104	0,0278	2,8889	0,0008	-7,4	54,76	107,26	-3,2645	10,6567	3,1389
2	28	77	0,0357	2,7500	0,0013	-34,4	1183,36	81,12	-4,1224	16,9945	5,3538
3	43	117	0,0233	2,7209	0,0005	5,6	31,36	122,16	-5,1593	26,6188	4,4097
4	52	137	0,0192	2,6346	0,0004	25,6	655,36	135,42	1,5826	2,5046	1,1552
5	51	143	0,0196	2,8039	0,0004	31,6	998,56	134,18	8,8246	77,8739	6,1711
6	54	144	0,0185	2,6667	0,0003	32,6	1062,76	137,76	6,2365	38,8939	4,3309
7	25	82	0,0400	3,2800	0,0016	-29,4	864,36	67,01	14,9943	224,8277	18,2857
8	37	101	0,0270	2,7297	0,0007	-10,4	108,16	109,74	-8,7374	76,3415	8,6509
9	51	132	0,0196	2,5882	0,0004	20,6	424,36	134,18	-2,1754	4,7323	1,6480
10	29	77	0,0345	2,6552	0,0012	-34,4	1183,36	85,18	-8,1790	66,8954	10,6220
Сумма	406	1114	0,2652	27,7182	0,0076		6566,4	1114	0,0000	546,3394	63,7661
Среднее	40,6	111,4	0,0265	2,7718	0,0008						6,3766

 

 

Получим следующее уравнение гиперболической  модели:

ŷ= 198,76-3293,9/х.

Построение  степенной функции.

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a+x^b.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого  произведем логарифмирование обеих  частей уравнения: lg ŷ = lg a +b lg x.

 

 

                Таблица 5

 

№ п/п	Факт Y(t)	lg (Y)	Переменная Х(t)	lg(x)
1	104	2,0170	36	1,5563
2	77	1,8865	28	1,4472
3	117	2,0682	43	1,6335
4	137	2,1367	52	1,7160
5	143	2,1553	51	1,7076
6	144	2,1584	54	1,7324
7	82	1,9138	25	1,3979
8	101	2,0043	37	1,5682
9	132	2,1206	51	1,7076
10	77	1,8865	29	1,4624
Сумма	1114	20,3473	406	15,9290
Среднее	111,4	2,0347	40,6	1,5929

 

Обозначим Y= lg ŷ, X= lg x, А= lg а. Тогда уравнение примет вид  

Y= A+ bX – линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем  его параметры, используя данные табл. 6.

Таблица 6

№ п/п	y	Y	x	X	YX	X2	ŷ=10A ´ xb= =4,661´ x 0,8577	ei = yi - ŷ	|ei/yi|*100%	ei2
1	104	2,0170	36	1,5563	3,1391	2,4221	100,773	3,23	3,10	10,41
2	77	1,8865	28	1,4472	2,7301	2,0943	81,233	-4,23	5,50	17,92
3	117	2,0682	43	1,6335	3,3783	2,6682	117,363	-0,36	0,31	0,13
4	137	2,1367	52	1,7160	3,6666	2,9447	138,141	-1,14	0,83	1,30
5	143	2,1553	51	1,7076	3,6804	2,9158	135,859	7,14	4,99	50,99
6	144	2,1584	54	1,7324	3,7391	3,0012	142,686	1,31	0,91	1,73
7	82	1,9138	25	1,3979	2,6754	1,9542	73,708	8,29	10,11	68,75
8	101	2,0043	37	1,5682	3,1432	2,4593	103,170	-2,17	2,15	4,71
9	132	2,1206	51	1,7076	3,6210	2,9158	135,859	-3,86	2,92	14,89
10	77	1,8865	29	1,4624	2,7588	2,1386	83,715	-6,71	8,72	45,09
Сумма	1114	20,3473	406	15,9290	32,5320	25,5141		1,49	39,55	215,92
Среднее	111,4	2,0347	40,6	1,5929	3,2532	2,5514			3,96	21,59

 

 

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y= 0,6685+0,8577 ´ Х.

Перейдем  к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ = 10^0,6685 ´ х^0,8577.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

ŷ = 4,6611´ х^0,8577.

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: ŷ =а ∙ b^х.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого  осуществим логарифмирование обеих  частей уравнения: lg ŷ = lg a + lg x ∙ b.

Обозначим Y= lg ŷ, B= lg b, A= lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A+B∙x.

Рассчитаем  его параметры, используя данные табл. 7.

 

Уравнение будет иметь вид: Y= 1,6402 – 0,0097х

Перейдем  к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =10^1,6402´(10^0,0097)^х = 43,68´ 1,023^х.

 

 

 

Таблица 7

 

№ п/п	y	Y	x	Yx	x2	Y-Yср	(Y-Yср)2	x-xср	(x-xср)2	ŷ=10A´(10B)x= =43,68´1,023x	ei = yi - ŷ	ei2	|ei/yi|*100%
1	104	2,017	36	72,613	1296	-0,018	0,0003	-4,6	21,16	99,039	4,961	24,6133	4,7704
2	77	1,886	28	52,822	784	-0,148	0,0220	-12,6	158,76	82,566	-5,566	30,9785	7,2284
3	117	2,068	43	88,932	1849	0,033	0,0011	2,4	5,76	116,127	0,873	0,7613	0,7458
4	137	2,137	52	111,109	2704	0,102	0,0104	11,4	129,96	142,500	-5,500	30,2526	4,0148
5	143	2,155	51	109,922	2601	0,121	0,0145	10,4	108,16	139,296	3,704	13,7165	2,5899
6	144	2,158	54	116,552	2916	0,124	0,0153	13,4	179,56	149,131	-5,131	26,3234	3,5629
7	82	1,914	25	47,845	625	-0,121	0,0146	-15,6	243,36	77,121	4,879	23,8032	5,9498
8	101	2,004	37	74,160	1369	-0,030	0,0009	-3,6	12,96	101,317	-0,317	0,1003	0,3136
9	132	2,121	51	108,149	2601	0,086	0,0074	10,4	108,16	139,296	-7,296	53,2377	5,5276
10	77	1,886	29	54,708	841	-0,148	0,0220	-11,6	134,56	84,465	-7,465	55,7240	9,6946
Сумма	1114	20,347	406	836,813	17586		0,1085		1102,4		-16,859	259,5109	44,3977
Среднее	111,4	2,035	40,6	83,681	1758,6				110,24				4,4398

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики построенных уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

Рис.3. График гиперболической функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4. график степенной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5. График показательной функции

 

9. Для указанных  моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и  средние относительные ошибки  аппроксимации. Сравнить модели  по этим характеристикам и  сделать вывод.

Значения коэффициента детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации для рассмотренных  моделей находим из расчетных  значений таблиц 4, 6, 7. Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу  результатов.

 

Модель	параметры
	Коэффициент детерминации	Средняя относительная ошибка
Гиперболическая	0,917	6,38
Степенная	0,967	3,96
Показательная	0,961	4,44

 

Вывод: Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов. Чем ближе R к 1, тем лучше качество модели. Значит, по этому параметру лучшей моделью является степенная (R² = 0,967).

Средняя относительная ошибка аппроксимации  показывает, на сколько в среднем  расчетные значения ŷ для модели отличаются от фактических значений. Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии  регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Значит, по этому параметру  лучшей моделью является степенная (Ē_отн = 3,96).

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем коэффициенты эластичности для всех построенных моделей.

 

Коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменится результирующий фактор при  изменении факторного на 1 %

Рассчитаем коэффициент эластичности для линейной модели: