Модель взаимодействия двух популяций

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего профессионального образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт управления в экономических, экологических и социальных систем

Кафедра: Химии и экологии

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

на тему: «Модель взаимодействия двух популяций »

 

 

 

 

   Руководитель _______   _______  Доцент кафедры ХиЭ   Плуготаренко Н.К.

   Студент  группы Н-31        ___________    _________      Наврат А.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таганрог 2014г.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего профессионального образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт управления в экономических, экологических и социальных систем

Кафедра: Химии и экологии

                                                    УТВЕРЖДАЮ:     
                                                               Заведующий кафедрой 
                                                                      __________   Петров В.В. 
 
                                                                   «____» _________ 20__г

ЗАДАНИЕ  
НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

 

Студенту(ке) _____Наврат Арине Вадимовне________________

Группа___Н-31___ Направление (специальность)___280700.62_

____________________Техносферная безопасность___________

Тема курсовой работы_«Модель взаимодействия двух популяций»_____________________________________________

Руководитель  Плуготаренко Н.К.  Доцент кафедры ХиЭ______

Перечень разделов:

1.Модели взаимодействия  двух популяций

2. Модель  взаимодействия двух видов насекомых

3. Построение  моделей на примерах моделирования  отношений "Хищник-Жертва" в природном  сообществе

4. Модель А.Д.Базыкина

5. Динамика  изолированной  популяции

Руководитель     ___________________        Плуготаренко Н.К.

Задание принял к исполнению __________  Наврат А.В.

 

                                                                                 «__» __________ 20__г

Аннотация

Предметом исследования в настоящей курсовой работе является математическое моделирование взаимодействия двух популяций.

Целью данной работы является рассмотрение взаимодействий двух популяций, с описанием функционирования двух видов между собой.

Задача курсовой работы:

1.Изучить математические  модели В.Вольтера и А.Д. Базыкиной. 
2.Исследовать математические модели взаимодействий двух видов на примере «Хищник-Жертва».

3.Рассмотрим динамику  изолированной популяции. Построим фазовый портрет.

4.Проанализировать и сделать выводы.

 В данной курсовой работе приведены формулы расчетов взаимодействия двух популяций, а также приведены диаграммы выживаемости и смертности двух популяций на примере «Хищник-Жертва», построены графики прироста популяции и фазовый портрет популяции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение……………………………………………………………………….5

1.Модели взаимодействия  двух популяций……………………………...….6

2. Модель взаимодействия  двух видов насекомых………………………....12

3. Построение моделей  на примерах моделирования отношений "Хищник-Жертва" в природном  сообществе…………………………………………..16

4. Модель А.Д.Базыкина ……………………………………………………..20

5. Динамика  изолированной  популяции…………………………………...25

Заключение…………………………………………………………………....32

Библиографический список………………………………………………….33

 

 

Введение

На разных уровнях развития живой материи продукционные процессы проявляют себя по-разному, но их феноменологическое описание всегда включает рождение, рост, взаимодействие с внешней средой, в том числе с другими особями своего вида или других видов, смерть особей. Именно это обстоятельство позволяет применять сходный математический аппарат для описания моделей роста и развития у таких, казалось бы, удаленных друг от друга по лестнице уровней организации живой материи, как клеточная популяция и сообщество видов в экосистеме.

Математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но иногда (при хорошей изученности объекта) дать количественное описание процесса, предсказать его ход и эффективность, дать рекомендации по оптимизации управления этим процессом. Это особенно важно для биологических процессов, имеющих прикладное и промышленное значение - биотехнологических систем, агробиоценозов, эксплуатируемых природных экосистем, продуктивность которых определяется закономерностями роста популяций живых организмов, представляющих собой "продукт" этих биологических систем.

Для подробного рассмотрения модели взаимодействия двух популяций, в данной работе будет рассмотрен пример взаимодействия двух видов насекомых, прирост и численность популяций. А так же пример выживаемости и смертности «Хищника-Жертвы».

 

1. Модели взаимодействия двух популяций

 Любые популяции существуют  во взаимодействии с окружением. Взаимодействовать могут как  биологические виды в собственном  смысле этого слова, так и разновидности  одного вида, например, различные  мутанты одного и того же  вида микроорганизмов при их  культивировании. Взаимодействия принято  разделять на трофические (когда  один из видов питается другим  видом) и топические (взаимодействия  между видами одного трофического  уровня). Наиболее распространенными и хорошо изученными являются взаимодействия конкуренции (когда численность каждого из видов в присутствии другого растет с меньшей скоростью), симбиоза (когда виды способствуют росту друг друга) и типа хищник-жертва или паразит-хозяин (когда численность вида-жертвы в присутствии вида-хищника растет медленнее, а вида-хищника - быстрее). В природе также встречаются взаимодействия , когда один из видов чувствует присутствие второго, а другой - нет (аменсализм и комменсализм), или виды нейтральны.

 Первое глубокое математическое  исследование закономерностей динамики  взаимодействующих популяций дано в книге Вольтерра "Математическая теория борьбы за существование"[3] . Крупнейший итальянский математик Вито Вольтерр - основатель математической биологии, описывающий взаимодействие видов подобно тому, как это делается в статистической физике и химической кинетике в виде мультипликативных членов в уравнениях (произведений численностей взаимодействующих видов). Тогда, в общем виде с учетом самоограничения численности по логистическому закону система дифференциальных уравнений, описывающая взаимодействие двух видов, может быть записана в форме:

,                                        (1.1)

Где аi- константы собственной скорости роста видов,

ci-константы самоограничения численности (внутривидовой конкуренции),

bij- константы взаимодействия видов,( i,j=1,2)

Соответствие знаков этих последних коэффициентов различным типам взаимодействий приведено в таблице 1.

Таблица 1

Типы взаимодействия типов

Симбиоз	+	+	b12,       b21˃0
Комменсализм	+	0	b12˃0,  b21=0
Хищник-жертва	+	-	b12˃0,   b21˂0
Аменсализм	0	-	b12=0,   b21˂0
Конкуренция	-	-	b12,        b21˂0
Нейтрализм	0	0	b12,        b21=0

 

Уравнения конкуренции (b12,>0, b21<0) предсказывают выживание одного из двух видов, в случае если собственная скорость роста другого вида меньше некоторой критической величины. Оба вида могут сосуществовать, если произведение коэффициентов межпопуляционного взаимодействия меньше произведения коэффициентов внутри популяционного взаимодействия: b12b21<c1c2..

Для изучения конкуренции видов ставились эксперименты на самых различных организмах. Обычно выбирают два близкородственных вида и выращивают их вместе и по отдельности в строго контролируемых условиях. Через определенные промежутки времени проводят полный или выборочный учет численности популяции. Регистрируют данные по нескольким повторным экспериментам и анализируют. Исследования проводили на простейших (в частности, инфузориях), многих видах жуков рода Tribolium, дрозофиллах, пресноводных ракообразных (дафниях). Много экспериментов проводилось на микробных популяциях. В природе также проводили эксперименты, в том числе на планариях (Рейнольдс) двух видах муравьев (Понтин). Результаты свидетельствуют о существовании конкуренции, ведущей к уменьшению численности обоих видов.

 Модель конкуренции  типа (1.1) имеет недостатки, в частности, из нее следует, что сосуществование двух видов возможно лишь в случае, если их численность ограничивается разными факторами, но модель не дает указаний, насколько велики должны быть различия для обеспечения длительного сосуществования. Внесение стохастических элементов (например, введение функции использования ресурса) позволяет ответить на эти вопросы.

 Для взаимоотношений  типа хищник-жертва или паразит-хозяин система уравнений (1.1) принимает вид:

                                     (1.2)

При различных соотношениях параметров в системе возможно выживание только жертвы, только хищника (если у него имеются и другие источники питания) и сосуществование обоих видов. В этом случае численности видов совершают колебания, причем колебания численности хищника в модели запаздывают по отношению к колебаниям численности жертвы. (рис.1)

Рис.1. Модель Вольтерра хищник-жертва. А. Фазовый портрет.

Б. Зависимость численности жертвы и хищника от времени.

 

Эти работы развивались по двум направлениям. Представители первого направления, описывая входящие в модельные системы функции, задают лишь качественные особенности этих функций, такие как положительность, монотонность отношения типа больше-меньше. Рассматриваемые здесь модели могут быть изучены аналитически.

 В рамках второго  направления последовательно рассматривались  различные модификации системы  Вольтерра, получаемые включением в исходную систему различных дополнительных факторов и закономерностей, описываемых явными функциями. Использование компьютерной техники позволило применить полученные здесь результаты к конкретным популяциям, в частности, к задачам оптимального промысла.

 Рассмотрим пример первого направления служит работа А.Н.Колмогорова (1935, переработана в 1972), который рассмотрел обобщенную модель взаимодействия биологических видов типа хищникжертва или паразит-хозяин.[1] Модель представляет собой систему двух уравнений общего вида:

                             (1.3)

В модель заложены следующие предположения:

1) Хищники не взаимодействуют  друг с другом, т.е. коэффициент  размножения хищников k2 и число  жертв L, истребляемых в единицу  времени одним хищником, не зависит  от «y».

2) Прирост числа жертв при наличии хищников равен приросту в отсутствие хищников минус число жертв, истребляемых хищниками. Функции k1(x), k2(x), L(x), - непрерывны и определены на положительной полуоси x,y 0.

3) dk1/dx<0. Это означает, что коэффициент размножения жертв в отсутствие хищника монотонно убывает с возрастанием численности жертв, что отражает ограниченость пищевых и иных ресурсов.

4) dk2/dx>0, k2(0)<0<k2(). С ростом численности жертв коэффициент размножения хищников монотонно убывает с возрастанием численности жертв, переходя от отрицательных значений, (когда нечего есть) к положительным.

5) Число жертв, истребляемых  одним хищником в единицу времени L(x)>0 при N>0; L(0)=0.

 Исследование этой  модели и ее частных случаев привело к выводу о том, что регулярные колебания в системе имеют место, если численность хищника ограничивается наличием жертвы. Если численность жертвы ограничивается количеством необходимых ей ресурсов, или численность хищника ограничивается не количеством жертвы, а другим фактором, это приводит к затухающим колебаниям. К затуханию колебаний приводит также наличие убежищ для жертв, которые делают их недоступными для хищников. Амплитуда колебаний будет возрастать, что приведет к вымиранию одного или обоих видов.[1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Модель взаимодействия двух видов насекомых

Модель взаимодействия двух видов насекомых (MacArthur, 1971) является одной из наиболее известных моделей, которая использовалась для решения практической задачи - борьбы с вредными насекомыми с помощью стерилизации самцов одного из видов. Исходя из биологических особенностей взаимодействия видов была написана следующая модель: